Câu 79 trang 129 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B. AB = c, BC = a cạnh bên AA’ = h, trong đó \({h^2} > {a^2} + {c^2}\). Một mặt phẳng (P) đi qua điểm A và vuông góc với CA’

a) Xác định thiết diện cùa hình lăng trụ khi cắt bởi mp(P).

b) Tính diện tích thiết diện.

Lời giải chi tiết

a) (P) cắt (ACC’A’) theo giao tuyến đi qua A và vuông góc với A’C.

Do \(AA' = h > AC = \sqrt {{a^2} + {c^2}} \) nên giao tuyến đó cắt CC’ tại C₁, C₁ thuộc cạnh CC’. Mặt khác (P) cắt (ABC) theo giao tuyến vuông góc với A’C, tức là giao tuyến đó vuông góc với AC, giao tuyến này cắt BC tại I. Khi đó IC₁ cắt BB’ tại B₁. Thiết diện là tam giác AB₁C₁.

b) Tính diện tích thiết diện

Dễ thấy \(\varphi  = \widehat {CA{C_1}}\) là góc giữa (P) và (ABC), ngoài ra \(\widehat {{C_1}AC} = \widehat {AA'C}\)

\(\cos \varphi  = {h \over {\sqrt {{a^2} + {c^2} + {h^2}} }}\)

Ta có

\(\eqalign{  & {S_{ABC}} = {S_{A{B_1}{C_1}}}\cos \varphi   \cr  &  \Rightarrow {S_{A{B_1}{C_1}}} = {{{S_{ABC}}} \over {\cos \varphi }} = {{ac} \over {2h}}\sqrt {{a^2} + {c^2} + {h^2}}  \cr} \).

Chú ý: Có thể tính \({S_{A{B_1}{C_1}}}\) bằng cách tính AC₁ và đường cao B₁H của tam giác đó. Dễ thấy B₁H song song với BK, trong đó \(BK \bot AC\) vì B₁H và BK cùng vuông góc với (ACC’A’)

Ngoài ra \({B_1}H = BK = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

∆AA’C đồng dạng ∆ACC₁

\( \Rightarrow A{C_1} = {{A'C.AC} \over {AA'}} = {{\sqrt {{a^2} + {c^2} + {h^2}} .\sqrt {{a^2} + {c^2}} } \over h}\).

Từ đó tính được diện tích tam giác AB₁C₁