Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = b; cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AS = 2a. Gọi M là điểm bất kì trên cạnh AS, đặt \(AM = x\left( {0 \le x \le 2{\rm{a}}} \right)\).

a) Thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.

b) Tính khoảng cách từ điểm S đến mp(MBC) ứng với mỗi vị trí của M.

Lời giải chi tiết

a) Vì \(BC//SA{\rm{D}},M \in mp\left( {SA{\rm{D}}} \right) \cap mp\left( {MBC} \right)\)

nên \(mp\left( {MBC} \right) \cap \left( {SA{\rm{D}}} \right) = MN\)

mà \(MN//BC\left( {N \in S{\rm{D}}} \right)\).

Như vậy BMNC là hình thang.

Mặt khác \(BC \bot \left( {SAB} \right)\) nên \(BC \bot BM\).

Vậy BMNC là hình thang vuông.

Do đó thiết diện của hình chóp S.ABCD khi cắt bởi mp(MBC) nói chung là hình thang vuông.

Khi x = 0 thì thiết diện là hình chữ nhật ABCD, và khi x = 2a thì thiết diện là tam giác SBC.

Ta có

\(\eqalign{ & {S_{BMNC}} = {1 \over 2}\left( {BC + MN} \right).BM \cr & B{M^2} = {a^2} + {x^2} \cr} \)

hay \(BM = \sqrt {{a^2} + {x^2}} \)

\({{MN} \over {A{\rm{D}}}} = {{SM} \over {SA}} = {{2{\rm{a}} - x} \over {2{\rm{a}}}}\), từ đó \(MN = b.{{2{\rm{a}} - x} \over {2{\rm{a}}}}\).

Từ đó

\(\eqalign{ & {S_{BMNC}} = {1 \over 2}\left( {b + b.{{2{\rm{a}} - x} \over {2{\rm{a}}}}} \right).\sqrt {{a^2} + {x^2}} \cr & = {b \over {4{\rm{a}}}}\left( {4{\rm{a}} - x} \right)\sqrt {{a^2} + {x^2}} \cr} \)

b) Do \(\left( {BMNC} \right) \bot \left( {SAB} \right)\) nên khi kẻ SH vuông góc với đường thẳng \(BM\left( {H \in BM} \right)\) thì \(SH \bot \left( {BMNC} \right)\).

Khoảng cách từ S đến mp(BCM) là SH. Dễ thấy

\(SH.BM = 2{{\rm{S}}_{SBM}} = 2.{1 \over 2}a\left( {2{\rm{a}} - x} \right)\)

Vậy \(SH = {{a\left( {2{\rm{a}} - x} \right)} \over {\sqrt {{a^2} + {x^2}} }}\)

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài tập trắc nghiệm chương III. Vecto trong không gian. Quan hệ vuông góc

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024