Bài 9 trang 46 SGK Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \(\displaystyle (C)\) của hàm số  \(\displaystyle f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\)

Phương pháp giải:

*Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

*Sự biến thiên của hàm số

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm \(y’\)

+ Tại các điểm đó đạo hàm \(y’\) bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm \(y’\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

*Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,

- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì \(T\) thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục \(Ox\)

- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục  tọa độ.

- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

Lời giải chi tiết:

Xét hàm số y = \(\displaystyle f(x) = {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2}\)  \(\displaystyle (C)\)

Tập xác định: \(\displaystyle D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:

Ta có: \(\displaystyle y’ = 2x^3- 6x  = 2x(x^2– 3)\)

\(\displaystyle \Rightarrow y’ = 0  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm \sqrt 3 \end{array} \right..\)

- Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\displaystyle (-\infty;-\sqrt3)\) và \(\displaystyle (0;\sqrt3)\), đồng biến trên khoảng \(\displaystyle (-\sqrt 3;0)\) và \(\displaystyle (\sqrt3;+\infty)\).

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(\displaystyle x=0\); \(\displaystyle y_{CĐ}={3\over 2}\)

Hàm số đạt cực tiểu tại hai điểm \(\displaystyle x=-\sqrt3\) và \(\displaystyle x=\sqrt3\); \(\displaystyle y_{CT}=y\,(\pm\sqrt3)=-3\)

- Giới hạn:

   \(\displaystyle \mathop {\lim y}\limits_{x \to  \pm \infty }  =  + \infty \)

- Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

Hàm số đã cho là hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục \(\displaystyle Oy\) làm trục đối xứng.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ  thị \(\displaystyle (C)\) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình \(\displaystyle f’’(x) = 0.\)

Phương pháp giải:

Giải phương trình \(\displaystyle f''(x)=0\) để tìm \(\displaystyle x_0.\) Sau đó viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(\displaystyle (C)\) theo công thức: \(\displaystyle y=y'(x_0)(x-x_0)+y(x_0).\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle y’’ = 6x^2– 6\)

\(\displaystyle \Rightarrow y’’ = 0 ⇔ 6x^2– 6 = 0 \) \(⇔ x^2 -1 =0 ⇔ x = ± 1.\)

Có \(\displaystyle y’(-1) = 4; \, \,  y’(1) = -4; \, \,  y(± 1) = -1\)

Tiếp tuyến của \(\displaystyle (C)\) tại điểm \(\displaystyle (-1, -1)\) là : \(\displaystyle y = 4(x+1) – 1= 4x+3.\)

Tiếp tuyến của \(\displaystyle (C)\) tại điểm \(\displaystyle (1, -1)\) là: \(\displaystyle y = -4(x-1) – 1 = -4x + 3.\)

c) Biện luận theo tham số \(\displaystyle m\) số nghiệm của phương trình: \(\displaystyle x^4- 6x^2+ 3 = m.\)

Phương pháp giải:

Đưa phương trình về dạng: \(\displaystyle {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = \frac{m}{2}. \) Sau đó dựa vào đồ thị ở câu a) để biện luận số nghiệm của phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\displaystyle {x^4} - 6{x^2} + 3 = m \) \(\displaystyle  \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^4} - 3{x^2} + {3 \over 2} = {m \over 2}\) (1)

Số nghiệm của (1) là số giao điểm của \(\displaystyle (C)\) và đường thẳng \(d\) : \(\displaystyle y = {m \over 2}\)

Từ đồ thị ta thấy:

\(\displaystyle \frac{m}{2}<-3\Leftrightarrow m < -6\) thì \(d\) và \((C)\) không có điểm chung nên (1) vô nghiệm.

\(\displaystyle \frac{m}{2}=-3 \Leftrightarrow m = -6\) thì \(d\) và \((C)\) có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.

\(\displaystyle -3 < \frac{m}{2}<\frac{3}{2} \Leftrightarrow-6 < m < 3\) thì d và \((C)\) có 4 điểm chung nên (1) có 4 nghiệm.

\(\displaystyle \frac{m}{2} = \frac{3}{2} \Leftrightarrow m = 3\) thì \(d\) và \((C)\) có 3 điểm chung nên ( 1) có 3 nghiệm.

\(\displaystyle \frac{m}{2}> \frac{3}{2} \Leftrightarrow m > 3\) thì \(d\) và \((C)\) có 2 điểm chung nên (1) có 2 nghiệm.

Vậy:

+) \(m < - 6\) thì phương trình vô nghiệm.

+) \(m = - 6\) hoặc \(m > 3\) thì PT có 2 nghiệm.

+) \(m = 3\) thì PT có 3 nghiệm.

+) \(– 6 < m < 3\) thì PT có 4 nghiệm.