Câu hỏi 1 - Mục Bài tập trang 113

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng (ACB’) // (A’C’D).

2. Phương pháp giải

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

3. Lời giải chi tiết

Ta có: (ABCD) // (A’B’C’D’) ( do ABCD.A’B’C’D’ là hình hộp);

          (ABCD) ∩ (ACC’A’) = AC;

          (A’B’C’D’) ∩ (ACC’A’) = A’C’.

Do đó AC // A’C’.

Mà A’C’ ⊂ (A’C’D) nên AC // (A’C’D).

Chứng minh tương tự ta cũng có AB’ // DC’ mà DC’ ⊂ (A’C’D) nên AB’ // (A’C’D).

Ta có: AC // (A’C’D);

         AB’ // (A’C’D);

         AC, AB’ cắt nhau tại điểm A và cùng nằm trong mp(ACB’).

Do đó (ACB’) // (A’C’D).

1. Nội dung câu hỏi

Gọi G₁, G₂ lần lượt là giao điểm của BD’ với các mặt phẳng (ACB’) và (A’C’D). Chứng minh rằng G₁, G₂ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ACB’ và A’C’D.

2. Phương pháp giải

Sử dụng tính chất hai đường trung tuyến cắt nhau.

3. Lời giải chi tiết

- Gọi O là tâm hình bình hành đáy ABCD, I là giao điểm của BD’ và DB’.

Tứ giác BDD’B’ có BB’ // DD’ và BB’ = DD’ nên là hình bình hành.

Do đó hai đường chéo BD’ và DB’ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

Trong $m p\left(B D D^{\prime} B^{\prime}\right), B^{\prime}$ cắt $B^{\prime} O$ tại $G_1$.
Mà $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{O} \subset\left(\mathrm{ACB}^{\prime}\right)$ nên $\mathrm{G}_1$ là giao điểm của $B D^{\prime}$ với $\left(\mathrm{ACB}^{\prime}\right)$.
Trong $\mathrm{mp}\left(\mathrm{BDD}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}\right)$, xét $\triangle \mathrm{BDB}^{\prime}$ có hai đường trung tuyến $\mathrm{BI}, \mathrm{B}^{\prime} \mathrm{O}$ cắt nhau tại $\mathrm{G}_1$ nên $\mathrm{G}_1$ là trọng tâm của $\mathrm{BDB}^{\prime}$
Do đó $\frac{B^{\prime} G_1}{B O}=\frac{2}{3}$
Trong $\left(\mathrm{ACB}^{\prime}\right)$, xét $\triangle \mathrm{ACB^{ \prime }}$ có $\mathrm{B}^{\prime} \mathrm{O}$ là đường trung tuyến và $\frac{B^{\prime} G_1}{B O}=\frac{2}{3}$
Suy ra $\mathrm{G}_1$ là trọng tâm của $\triangle \mathrm{ACB}^{\prime}$.
- Gọi O' là tâm hình bình hành đáy $A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}$.
Chứng minh tương tự như trên ta cũng có: $\mathrm{G}_2$ là trọng tâm của $\Delta \mathrm{DD}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ nên $\frac{D G_2}{D O^{\prime}}=\frac{2}{3}$
Trong $\left(\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}\right), \Delta \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}$ có $\mathrm{D} \mathrm{O}^{\prime}$ là đường trung tuyến và $\frac{D G_2}{D O^{\prime}}=\frac{2}{3}$
Suy ra $G_2$ là trọng tâm của $\Delta \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{C}^{\prime} \mathrm{D}$.

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng BG₁ = G₁G₂ = D’G₂.

2. Phương pháp giải

Sử dụng kết quả câu b và tính chất trọng tâm của tam giác để chứng minh.

3. Lời giải chi tiết

Theo chứng minh câu b, ta có:
- $\mathrm{G}_1$ là trọng tâm của $\Delta \mathrm{BDB}^{\prime}$ nên $\frac{B G_1}{B I}=\frac{2}{3}$ và $\frac{I G_1}{B G_1}=\frac{1}{2}$
- $G_2$ là trọng tâm của $\Delta D^{\prime} D^{\prime}{ }^{\prime}$ nên $\frac{D^{\prime} G_2}{D^{\prime} I}=\frac{2}{3}$ và $\frac{I G_2}{D^{\prime} G_2}=\frac{1}{2}$
Do đó $\frac{B G_1}{B I}=\frac{D^{\prime} G_2}{D^{\prime} I}=\frac{2}{3}$ và $\frac{I G_1}{B G_1}=\frac{I G_2}{D^{\prime} G_2}=\frac{1}{2}$
Ta có: $\frac{B G_1}{B I}=\frac{D^{\prime} G_2}{D^{\prime} I}$ và $\mathrm{BI}=\mathrm{D}^{\prime}$ I (do I là trung điểm của $\mathrm{BD}^{\prime}$ )
Suy ra $B G_1=D^{\prime} G_2$.
Lại có $\frac{I G_1}{B G_1}=\frac{I G_2}{D^{\prime} G_2}=\frac{1}{2}$ nên $I G_1=I G_2=\frac{1}{2} B G_1$
Do đó $G_1 G_2=I G_1+I G_2=\frac{1}{2} B G_1+\frac{1}{2} B G_1=B G_1$.
Vậy $B G_1=G_1 G_2=D^{\prime} G_2$.