Câu hỏi 1 - Mục Bài tập trang 84

1. Nội dung câu hỏi

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+1 & \text { khi } x \geq 0 \\ 1-x & \text { khi } x<0\end{array}\right.$ tại điểm $x=0$

2. Phương pháp giải

Xét tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại điểm $x_0$.
Bước 1: Kiểm tra $x_0$ thuộc tập xác định không. Tính $f\left(x_0\right)$.
Bước 2: Tính $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ (nếu có).
Bước 3: Kết luận:
- Nếu $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ thì hàm số liên tục tại điểm $x_0$.
- Nếu $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \neq f\left(x_0\right)$ hoặc không tồn tại $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ thì hàm số không liên tục tại điểm $x_0$.

3. Lời giải chi tiết

Dễ thấy $x$ = 0 thuộc tập xác định của hàm số.
$
f(0)=0^2+1=1
$
Ta có: $\quad \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x^2+1\right)=0^2+1=1$
$
\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}(1-x)=1-0=1
$
Vì $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} f(x)=1$ nên $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=1=f(0)$.
Vậy hàm số liên tục tại điểm $x=0$.

1. Nội dung câu hỏi

$f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2+2 & \text { khi } x \geq 1 \\ x & \text { khi } x<1\end{array}\right.$ tại điểm $x=1$.

2. Phương pháp giải

Xét tính liên tục của hàm số $f(x)$ tại điểm $x_0$.
Bước 1: Kiểm tra $x_0$ thuộc tập xác định không. Tính $f\left(x_0\right)$.
Bước 2: Tính $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x), \lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ (nếu có).
Bước 3: Kết luận:
- Nếu $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ thì hàm số liên tục tại điểm $x_0$.
- Nếu $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \neq f\left(x_0\right)$ hoặc không tồn tại $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ thì hàm số không liên tục tại điểm $x_0$.

3. Lời giải chi tiết

Dễ thấy $x=1$ thuộc tập xác định của hàm số.
$f(1)=1^2+2=3$
Ta có: $\quad \lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}}\left(x^2+2\right)=1^2+2=3$
$
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}} x=1
$
Vì $\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 1^{-}} f(x)$ nên không tồn tại $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$.
Vậy hàm số không liên tục tại điểm $x=1$.