Trả lời câu hỏi 1 - Mục Vận dụng trang 82

1. Nội dung câu hỏi

Với $k=0$, xét tính liên tục của hàm số $P(x)$ trên $(0 ;+\infty)$.

2. Phương pháp giải

Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm $x_0 \in(0 ; 400), x_0 \in(400 ;+\infty)$ và điểm $x_0=400$, từ đó đưa ra kết luận.

3. Lời giải chi tiết

Với $k=0$, hàm số có dạng $P(x)=\left\{\begin{array}{cc}4,5 x & \text { khi } 0<x \leq 400 \\ 4 x & \text { khi } x>400\end{array}\right.$
- Với mọi $x_0 \in(0 ; 400)$, ta có:
$
\lim _{x \rightarrow x_0} P(x)=\lim _{x \rightarrow x_0}(4,5 x)=4,5 \lim _{x \rightarrow x_0} x=4,5 x_0=P\left(x_0\right)
$
Vậy hàm số $y=P(x)$ liên tục tại mọi điểm $x_0 \in(0 ; 400)$.
- Với mọi $x_0 \in(400 ;+\infty)$, ta có:
$
\lim _{x \rightarrow x_0} P(x)=\lim _{x \rightarrow x_0}(4 x)=4 \lim _{x \rightarrow x_0} x=4 x_0=P\left(x_0\right)
$
Vậy hàm số $y=P(x)$ liên tục tại mọi điểm $x_0 \in(400 ;+\infty)$.

$
\begin{aligned}
& f(400)=4,5 \cdot 400=1800 . \\
& \lim _{x \rightarrow 400^{+}} P(x)=\lim _{x \rightarrow 400^{+}}(4 x)=4 \lim _{x \rightarrow 400^{+}} x=4.400=1600 . \\
& \lim _{x \rightarrow 400^{-}} P(x)=\lim _{x \rightarrow 400^{-}}(4,5 x)=4,5 . \lim _{x \rightarrow 400^{-}} x=4,5.400=1800 .
\end{aligned}
$
Vì $\lim _{x \rightarrow 400^{+}} P(x) \neq \lim _{x \rightarrow 400^{-}} P(x)$ nên không tồn tại $\lim _{x \rightarrow 400} P(x)$.
Vậy hàm số không liên tục tại điểm $x_0=400$.
Vậy hàm số $y=f(x)$ không liên tục trên $(0 ;+\infty)$.

1. Nội dung câu hỏi

Với giá trị nào của $k$ thì hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0 ;+\infty)$ ?

2. Phương pháp giải

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số tại các điểm $x_0 \in(0 ; 400), x_0 \in(400 ;+\infty)$. Bước 2: Tính $\lim _{x \rightarrow 400} P(x)$ và $P(400)$.
Bước 3: Giải phương trình $\lim _{x \rightarrow 400} P(x)=P(400)$ để tìm $k$.

3. Lời giải chi tiết

Xét hàm số $P(x)=\left\{\begin{array}{cc}4,5 x & k h i 0<x \leq 400 \\ 4 x+k & \text { khi } x>400\end{array}\right.$ ( $k$ là một hãng số)
Hàm số liên tục trên các khoảng $(0 ; 400)$ và $(400 ;+\infty)$.
Ta có: $f(400)=4,5.400=1800$.
$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 400^{+}} P(x)=\lim _{x \rightarrow 400^{+}}(4 x+k)=4 \lim _{x \rightarrow 400^{+}} x+\lim _{x \rightarrow 400^{+}} k=4.400+k=1600+k \\
& \lim _{x \rightarrow 400^{-}} P(x)=\lim _{x \rightarrow 400^{-}}(4,5 x)=4,5 . \lim _{x \rightarrow 400^{-}} x=4,5.400=1800
\end{aligned}
$

Để hàm số $y=P(x)$ liên tục trên $(0 ;+\infty)$ thì hàm số $y=P(x)$ phải liên tục tại điểm $x_0=400$.
Để hàm số liên tục tại điểm $x_0=400$ thì:
$
\lim _{x \rightarrow 400^{+}} P(x)=\lim _{x \rightarrow 400^{-}} P(x)=f(400) \Leftrightarrow 1600+k=1800 \Leftrightarrow k=200
$
Vậy với $k=200$ thì hàm số $P(x)$ liên tục trên $(0 ;+\infty)$