Câu hỏi 2 - Mục Bài tập trang 84

1. Nội dung câu hỏi

Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^2-4}{x+2} & \text { khi } x \neq-2 \\ a & \text { khi } x=-2\end{array}\right.$. Tìm $a$ để hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

2. Phương pháp giải

Bước 1: Xét tính liên tục của hàm số trên từng khoảng xác định.
Bước 2: Tính $f\left(x_0\right)$.
Bước 3: Tính $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$.
Bước 4: Giải phương trình $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ để tìm $a$.

3. Lời giải chi tiết

Trên các khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2 ;+\infty), f(x)=\frac{x^2-4}{x+2}$ là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng $(-\infty ;-2)$ và $(-2 ;+\infty$ ) Ta có: $f(-2)=a$
$
\lim _{x \rightarrow-2} f(x)=\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x^2-4}{x+2}=\lim _{x \rightarrow-2} \frac{(x-2)(x+2)}{x+2}=\lim _{x \rightarrow-2}(x-2)=-2-2=-4
$
Để hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số $y=f(x)$ phải liên tục tại điểm $x_0=-2$. Khi đó:
$
\lim _{x \rightarrow-2} f(x)=f(-2) \Leftrightarrow a=-4
$
Vậy với $a=-4$ thì hàm số $y=f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.