Trả lời câu hỏi 3 - Mục Vận dụng trang 84

1. Nội dung câu hỏi

Viết biểu thức $S(x)$ biểu thị diện tích của tam giác $O N P$.

2. Phương pháp giải

Viết hàm số biểu thị phương trình đường tròn $(C)$, dựa vào dữ kiện của đề bài, tính $O M, N P$ sau đó tính diện tích $S(x)$ của tam giác $O N P$.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $(C): x^2+y^2=1 \Leftrightarrow y= \pm \sqrt{1-x^2}$.
Độ dài $O M$ chính là giá trị tuyệt đối của hoành độ của điểm $M$. Vậy $O M=|x|$.
Độ dài $M N$ chính là giá trị tuyệt đối của tung độ của điểm $N$. Vậy $M N=\left|\sqrt{1-x^2}\right|=\sqrt{1-x^2}$.
$S(x)=S_{O N P}=\frac{1}{2} . N P . O M=M N . O M=\sqrt{1-x^2} \cdot|x|$

1. Nội dung câu hỏi

Hàm số $y=S(x)$ có liên tục trên $(-1 ; 1)$ không? Giải thích.

2. Phương pháp giải

Sử dụng tính chất liên tục của các hàm số sơ cấp.

3. Lời giải chi tiết

Xét hàm số $S(x)=\sqrt{1-x^2} \cdot|x|=\left\{\begin{array}{cc}x \sqrt{1-x^2} & \text { khi } 0 \leq x \leq 1 \\ -x \sqrt{1-x^2} & \text { khi }-1 \leq x<0\end{array}\right.$.
ĐКХĐ: $1-x^2 \geq 0 \Leftrightarrow-1 \leq x \leq 1$
Hàm số $S(x)$ có tập xác định là $[-1 ; 1]$.
Vậy hàm số $S(x)$ xác định trên các khoảng $(-1 ; 0)$ và $(0 ; 1)$ nên liên tục trên các khoảng $(-1 ; 0)$ và $(0 ; 1)$.
Ta có: $S(0)=0 . \sqrt{1-0^2}=0$
$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 0^{+}} S(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(x \sqrt{1-x^2}\right)=0 . \sqrt{1-0^2}=0 \\
& \lim _{x \rightarrow 0^{-}} S(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(-x \sqrt{1-x^2}\right)=-0 . \sqrt{1-0^2}=0 \\
& \text { Vì } \lim _{x \rightarrow 0^{+}} S(x)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} S(x)=0 \text { nên } \lim _{x \rightarrow 0} S(x)=0=S(0)
\end{aligned}
$
Vậy hàm số $S(x)$ liên tục tại điểm $x_0=0$. 

Vậy hàm số $S(x)$ liên tục trên $(-1 ; 1)$.

1. Nội dung câu hỏi

Tìm các giới hạn $\lim _{x \rightarrow 1^{-}} S(x)$ và $\lim _{x \rightarrow-1^{+}} S(x)$.

2. Phương pháp giải

Áp dụng các công thức tính giới hạn của hàm số.

3. Lời giải chi tiết

$\begin{aligned} &\lim _{x \rightarrow 1^{-}} S(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}\left(x \sqrt{1-x^2}\right)=1 \cdot \sqrt{1-1^2}=0 \\ & \lim _{x \rightarrow-1^{+}} S(x)=\lim _{x \rightarrow-1^{+}}\left(-x \sqrt{1-x^2}\right)=-1 \cdot \sqrt{1-(-1)^2}=0\end{aligned}$