Câu hỏi 10 - Mục Bài tập trang 121

1. Nội dung câu hỏi

Cho hình vuông ABCD. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ < AB. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình vuông.

2. Phương pháp giải

Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thoi có một góc vuông nên MNPQ là hình vuông.

3. Lời giải chi tiết

Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Mà AM = BN = CP = DQ

Suy ra AB – AM = BC – BN = CD – CP = DA – DQ

Hay MB = NC = PD = QA

- Xét ΔAMQ và ΔBNM có:

$\widehat{MAQ}=\widehat{NBM}=90°$

AM = BN (giả thiết);

QA = MB (chứng minh trên)

Do đó ΔAMQ = ΔBNM (hai cạnh góc vuông)

Suy ra QM = MN (hai cạnh tương ứng).

Chứng minh tương tự ta có: MN = NP và NP = PQ.

Khi đó MN = NP = PQ = QM.

- Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

- Do ΔAMQ = ΔBNM (chứng minh trên) nên  $\widehat{AMQ}=\widehat{BNM}$ (hai góc tương ứng)
Mà $\widehat{BNM}+\widehat{BMN}=90°$ (do $∆\mathrm{BMN}$ vuông tại B )
Suy ra $\widehat{AMQ}+\widehat{BMN}=90°$
Lại có $\widehat{AMQ}+\widehat{QMN}+\widehat{BMN}=180°$
Suy ra $\widehat{QMN}=180°-(\widehat{AMQ}+\widehat{BMN})=180°-90°=90°$.
- Hình thoi MNPQ có $\widehat{QMN}=90°$ nên là hình vuông.