Câu hỏi 10 - Mục Bài tập trang 128

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng MNPQ là hình thang cân.

2. Phương pháp giải

Sử dụng định lí:

‒ Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đổi một song song.

3. Lời giải chi tiết

Do (α) đi qua M và (α) // (SAD) nên (α) cắt các mặt của hình chóp tại các giao tuyến song song với (SAD).

+) Trong mặt phẳng (ABCD), từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại N. Suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là MN // AD.

+) Trong mặt phẳng (SCD), từ điểm N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC tại P. Suy ra giao tuyến của (α) và (SCD) là NP // SD.

+) Trong mặt phẳng (SBC), từ điểm P kẻ đường thẳng song song với BC // AD cắt SB tại Q. Suy ra giao tuyến của (α) và (SBC) là PQ // AD.

+) Trong mặt phẳng (SAB), nối M và Q. Suy ra giao tuyến của (α) và (SAB) là MQ // SA.

Xét từ giác MNPQ, có: MN // PQ nên MNPQ là hình thang.

Ta có: $\mathrm{SA} / / \mathrm{MQ}, \mathrm{MN} / / \mathrm{AD}$ và $\widehat{S A D}=60^{\circ}$ nên $\widehat{Q M N}=60^{\circ}$.
Ta lại có: $M N / / A D, N P / / S D$ và $\widehat{S D A}=60^{\circ}$ nên $\widehat{P N M}=60^{\circ}$.
Suy ra: $\widehat{Q M N}=\widehat{P N M}=60^{\circ}$
Do đó tứ giác MNPQ là hình thang.

1. Nội dung câu hỏi

Đặt AM = x, tính diện tích MNPQ theo a và x.

2. Phương pháp giải

Sử dụng định lí:

- Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau. Nếu $(R)$ cắt $(P)$ thì cắt $(Q)$ và hai giao tuyến của chúng song song.

3. Lời giải chi tiết

+) Ta có $A B C D$ là hình thoi và $M N$ // $A D$ //BC nên $M N$ = a.
+) Trong tam giác $\mathrm{ABC}$, có $\mathrm{PQ} / / \mathrm{BC}$ nên $\frac{P Q}{B C}=\frac{S Q}{S B}$ (định lí Thales)
+) Trong tam giác SAB, có: MQ / SA nên $\frac{S Q}{S B}=\frac{A M}{A B}=\frac{x}{a}$ (định lí Thales)
Do đó $\frac{P Q}{B C}=\frac{x}{a} \Leftrightarrow \frac{P Q}{a}=\frac{x}{a} \Leftrightarrow P Q=x$.
+) Ta lại có: $\frac{B Q}{S B}=\frac{M Q}{S A}=\frac{a-x}{a} \Rightarrow M Q=a-x$
+) Xét tam giác MHQ vuông tại H, có:
$\sin \widehat{M Q H}=\frac{Q H}{M Q} \Rightarrow Q H=M Q \cdot \sin \widehat{M Q H}=(a-x) \cdot \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}$
Vậy diện tích hình thang cân MNPQ là: $S_{M N P Q}=\frac{(x+a) \cdot \frac{\sqrt{3(a-x)}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}\left(a^2-x^2\right)}{4}$.