Cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, tam giác SAD đều. M là điểm trên cạnh AB, (α) là mặt phẳng qua M và (α) // (SAD) cắt CD, SC, SD lần lượt tại N, P, Q.
Lời giải phần a
1. Nội dung câu hỏi
Chứng minh rằng MNPQ là hình thang cân.
2. Phương pháp giải
Sử dụng định lí:
‒ Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy hoặc đổi một song song.
3. Lời giải chi tiết
Do (α) đi qua M và (α) // (SAD) nên (α) cắt các mặt của hình chóp tại các giao tuyến song song với (SAD).
+) Trong mặt phẳng (ABCD), từ điểm M kẻ đường thẳng song song với AD cắt CD tại N. Suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là MN // AD.
+) Trong mặt phẳng (SCD), từ điểm N kẻ đường thẳng song song với SD cắt SC tại P. Suy ra giao tuyến của (α) và (SCD) là NP // SD.
+) Trong mặt phẳng (SBC), từ điểm P kẻ đường thẳng song song với BC // AD cắt SB tại Q. Suy ra giao tuyến của (α) và (SBC) là PQ // AD.
+) Trong mặt phẳng (SAB), nối M và Q. Suy ra giao tuyến của (α) và (SAB) là MQ // SA.
Xét từ giác MNPQ, có: MN // PQ nên MNPQ là hình thang.
Ta có: $\mathrm{SA} / / \mathrm{MQ}, \mathrm{MN} / / \mathrm{AD}$ và $\widehat{S A D}=60^{\circ}$ nên $\widehat{Q M N}=60^{\circ}$.
Ta lại có: $M N / / A D, N P / / S D$ và $\widehat{S D A}=60^{\circ}$ nên $\widehat{P N M}=60^{\circ}$.
Suy ra: $\widehat{Q M N}=\widehat{P N M}=60^{\circ}$
Do đó tứ giác MNPQ là hình thang.
Lời giải phần b
1. Nội dung câu hỏi
Đặt AM = x, tính diện tích MNPQ theo a và x.
2. Phương pháp giải
Sử dụng định lí:
- Cho hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau. Nếu $(R)$ cắt $(P)$ thì cắt $(Q)$ và hai giao tuyến của chúng song song.
3. Lời giải chi tiết
+) Ta có $A B C D$ là hình thoi và $M N$ // $A D$ //BC nên $M N$ = a.
+) Trong tam giác $\mathrm{ABC}$, có $\mathrm{PQ} / / \mathrm{BC}$ nên $\frac{P Q}{B C}=\frac{S Q}{S B}$ (định lí Thales)
+) Trong tam giác SAB, có: MQ / SA nên $\frac{S Q}{S B}=\frac{A M}{A B}=\frac{x}{a}$ (định lí Thales)
Do đó $\frac{P Q}{B C}=\frac{x}{a} \Leftrightarrow \frac{P Q}{a}=\frac{x}{a} \Leftrightarrow P Q=x$.
+) Ta lại có: $\frac{B Q}{S B}=\frac{M Q}{S A}=\frac{a-x}{a} \Rightarrow M Q=a-x$
+) Xét tam giác MHQ vuông tại H, có:
$\sin \widehat{M Q H}=\frac{Q H}{M Q} \Rightarrow Q H=M Q \cdot \sin \widehat{M Q H}=(a-x) \cdot \sin 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}(a-x)}{2}$
Vậy diện tích hình thang cân MNPQ là: $S_{M N P Q}=\frac{(x+a) \cdot \frac{\sqrt{3(a-x)}}{2}}{2}=\frac{\sqrt{3}\left(a^2-x^2\right)}{4}$.
Chương 5. Tệp và thao tác với tệp
Unit 6: Social issues
Unit 2: Generation gap
Review 4
Unit 1: Health & Healthy lifestyle
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán Lớp 11
Quên mật khẩu ?
Hoặc đăng nhập với
Điểm cần để chuộc tội: 0
Bé Cà đang rất bực vì quỹ điểm của bạn đã đạt ngưỡng báo động. Bé Cà đã tắt quyền đặt câu hỏi của bạn. Mau kiếm bù điểm chuộc lỗi với bé Cà
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
FQA tặng bạn
HSD: -
Xem lại voucher tại Trang cá nhân -> Lịch sử quà tặng
Để nhận quà tặng voucher bạn cần hoàn thành một nhiệm vụ sau