Câu hỏi 11 - Mục Bài tập trang 62

1. Nội dung câu hỏi

$\left\{\begin{array}{l}5 \mathrm{u}_1+10 \mathrm{u}_5=0 \\ \mathrm{~S}_4=14\end{array}\right.$

2. Phương pháp giải

Sử dụng các công thức:
- Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát là: $u_n=u_1+(n-1) d, n \geq 2$.
- Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ là: $S_n=\frac{n\left[2 u_1+(n-1) d\right]}{2}$.
Sau đó đưa về giải hệ phương trình.

3. Lời giải chi tiết

$$
\begin{aligned}
& \left\{\begin{array} { l } 
{ 5 u _ { 1 } + 1 0 u _ { 5 } = 0 } \\
{ S _ { 4 } = 1 4 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { l } 
{ 5 u _ { 1 } + 1 0 ( u _ { 1 } + 4 \mathrm { d } ) = 0 } \\
{ \frac { 4 ( 2 u _ { 1 } + 3 \mathrm { d } ) } { 2 } = 1 4 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
5 u_1+10 u_1+40 \mathrm{~d}=0 \\
2\left(2 u_1+3 \mathrm{~d}\right)=14
\end{array}\right.\right.\right. \\
& \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } 
{ 1 5 u _ { 1 } + 4 0 \mathrm { d } = 0 } \\
{ 2 u _ { 1 } + 3 \mathrm { d } = 7 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
u_1=8 \\
d=-3
\end{array}\right.\right.
\end{aligned}
$$
Vậy cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1=8$ và công sai $d=-3$.

1. Nội dung câu hỏi

$\left\{\begin{array}{l}u_7+u_{15}=60 \\ u_4^2+u_{12}^2=1170\end{array}\right.$

2. Phương pháp giải

Sử dụng các công thức:
- Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ thì số hạng tổng quát là: $u_n=u_1+(n-1) d, n \geq 2$.
- Công thức tính tổng $n$ số hạng đầu tiên của cấp số cộng có số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ là: $S_n=\frac{n\left[2 u_1+(n-1) d\right]}{2}$.
Sau đó đưa về giải hệ phương trình.

3. Lời giải chi tiết

$\begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l}u_7+u_{15}=60 \\ u_4^2+u_{12}^2=1170\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left(u_1+6 \mathrm{~d}\right)+\left(u_1+14 \mathrm{~d}\right)=60 \\ \left(u_1+3 \mathrm{~d}\right)^2+\left(u_1+11 \mathrm{~d}\right)^2=1170\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_1+6 \mathrm{~d}+u_1+14 \mathrm{~d}=60 \\ \left(u_1+3 \mathrm{~d}\right)^2+\left(u_1+11 \mathrm{~d}\right)^2=1170\end{array}\right.\right.\right. \\ & \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2 u_1+20 \mathrm{~d}=60 \\ \left(u_1+3 \mathrm{~d}\right)^2+\left(u_1+11 \mathrm{~d}\right)^2=1170\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}u_1+10 \mathrm{~d}=30(1) \\ \left(u_1+3 \mathrm{~d}\right)^2+\left(u_1+11 \mathrm{~d}\right)^2=1170(2)\end{array}\right.\right.\end{aligned}$

$(1) \Leftrightarrow u_1=30-10 \mathrm{~d}$ thế vào $(2)$ ta được:
$$
\begin{aligned}
& (30-10 \mathrm{~d}+3 \mathrm{~d})^2+(30-10 \mathrm{~d}+11 \mathrm{~d})^2=1170 \Leftrightarrow(30-7 \mathrm{~d})^2+(30+\mathrm{d})^2=1170 \\
& \Leftrightarrow 900-420 \mathrm{~d}+49 \mathrm{~d}^2+900+60 \mathrm{~d}+d^2=1170 \Leftrightarrow 50 \mathrm{~d}^2-360 \mathrm{~d}+630=0 \\
& \Leftrightarrow 5 \mathrm{~d}^2-36 \mathrm{~d}+63=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}
d=3 \\
d=\frac{21}{5}
\end{array}\right.
\end{aligned}
$$
Với $d=3 \Leftrightarrow u_1=30-10.3=0$.
Với $d=\frac{21}{5} \Leftrightarrow u_1=30-10 \cdot \frac{21}{5}=-12$.
Vậy có hai cấp số cộng $\left(u_n\right)$ thoả mãn:
- Cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=0$ và công sai $d=3$.
- Cấp số cộng có số hạng đầu $u_1=-12$ và công sai $d=\frac{21}{5}$.