Câu hỏi 1.4 - Mục Bài tập trang 16

1. Nội dung câu hỏi

$\cos a=\frac{1}{5}$ và $0<a<\frac{\pi }{2}$;

2. Phương pháp giải

- Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác.

- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.

3. Lời giải chi tiết
Vì $0<a<\frac{\pi }{2}$ nên $\sin a>0$. Mặt khác, từ ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ suy ra $\sin \alpha =\sqrt{1-{\cos }^2\alpha }=\sqrt{1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{6}}{5}$.
Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=2\sqrt{6}$ và $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$.

1. Nội dung câu hỏi

$\sin \alpha =\frac{2}{3}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

2. Phương pháp giải

- Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác.

- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.

3. Lời giải chi tiết
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos a<0$. Mặt khác, từ ${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1$ suy ra $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

Do đó, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{2}{\sqrt{5}}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$ và $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\frac{2\sqrt{5}}{5}}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.

1. Nội dung câu hỏi

$\tan \alpha =\sqrt{5}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$

2. Phương pháp giải

- Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác.

- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.

3. Lời giải chi tiết
Ta có: $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $cos\alpha <0$. 

Mặt khác, từ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ suy ra $\cos \alpha =-\sqrt{\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }}=-\sqrt{\frac{1}{1+(\sqrt{5}{)}^2}}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Mà $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha ·\cot \alpha =\sqrt{5}·\left(-\frac{\sqrt{6}}{6}\right)=-\frac{\sqrt{30}}{6}$.

1. Nội dung câu hỏi

$\cot \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}$ và $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$.

2. Phương pháp giải

- Từ hệ thức lượng giác cơ bản là mối liên hệ giữa hai giá trị lượng giác, khi biết một giá trị ta sẽ suy ra được giá trị còn lại. Cần lưu ý tới dấu của giá trị lượng giác.

- Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ trong đại số.

3. Lời giải chi tiết
Ta có: $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=\frac{1}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\sqrt{2}$.
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\cos \alpha >0$. Mặt khác, từ $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ suy ra $\cos \alpha =\sqrt{\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }}=\sqrt{\frac{1}{1+(-\sqrt{2}{)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Mà $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\tan \alpha ·\cot \alpha =-\sqrt{2}·\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.