Câu hỏi 2 - Mục Bài tập trang 57

1. Nội dung câu hỏi

Tính độ dài các đoạn thẳng $D B$ và $D C$.

2. Phương pháp giải

- Sử dụng Tính chất đường phân giác trong tam giác:

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề đoạn ấy.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $BD+DC=BC\Rightarrow DC=BC-BD=10-BD$

Vì $A D$ là phân giác của góc $B A C$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$$\begin{gathered} \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\iff \frac{BD}{10-BD}=\frac{6}{8}\iff 8BD=6·(10-BD) \\ \Rightarrow 8BD=60-6BD \\ \iff 8BD+6BD=60\iff 14BD=60\Rightarrow BD=\frac{60}{14}=\frac{30}{7} \\ \Rightarrow DC=10-\frac{30}{7}=\frac{40}{7} \end{gathered}$$

Vậy $B D=\frac{30}{7} \mathrm{~cm} ; D C=\frac{40}{7} \mathrm{~cm}$.

1. Nội dung câu hỏi

Tính tỉ số diện tích giữa $\triangle A D B$ và $\triangle A D C$.

2. Phương pháp giải

- Diện tích tam giác
$S=\frac{1}{2} a \cdot h$ với $a$ là độ dài đáy và $h$ là chiều cao.

3. Lời giải chi tiết

Kẻ $A E \perp B C \Rightarrow A E$ là đường cao của tam giác $A B C$.
vì $A E \perp B C \Rightarrow A E \perp B D \Rightarrow A E$ là đường cao của tam giác $A D B$

Diện tích tam giác $A D B$ là:
$S_{ADB}=\frac{1}{2}BD·AE$

Vì $A E \perp B C \Rightarrow A E \perp D C \Rightarrow A E$ là đường cao của tam giác $A D C$

Diện tích tam giác $A D C$ là:
$S_{ADC}=\frac{1}{2}DC.AE$

Ta có: $\frac{S_{A D B}}{S_{A D C}}=\frac{\frac{1}{2} A E \cdot B D}{\frac{1}{2} A E \cdot C D}=\frac{B D}{D C}=\frac{\frac{30}{7}}{\frac{40}{7}}=\frac{3}{4}$.
Vậy tỉ số diện tích giữa $\Delta A D B$ và $\Delta A D C$ là $\frac{3}{4}$.