Câu hỏi 3 - Mục Bài tập trang 109

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng (G₁G₂G₃) // (BCD).

2. Phương pháp giải

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thằng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

3. Lời giải chi tiết

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của $B C, C D, D B$.
Trong $\mathrm{mp}(\mathrm{ABC})$, xét $\triangle \mathrm{ABC}$ có $\mathrm{G}_1$ là trọng tâm của tam giác nên $\frac{A G_1}{A M}=\frac{2}{3}$;
Trong $\mathrm{mp}(\mathrm{ACD})$, xét $\triangle \mathrm{ACD}$ có $\mathrm{G}_2$ là trọng tâm của tam giác nên $\frac{A G_2}{A N}=\frac{2}{3}$;
Trong $\mathrm{mp}(\mathrm{ABD})$, xét $\triangle \mathrm{ABD}$ có $\mathrm{G}_3$ là trọng tâm của tam giác nên $\frac{A G_3}{A P}=\frac{2}{3}$.
Trong mp(AMP), xét $\Delta$ AMP có $\frac{A G_1}{A M}=\frac{A G_3}{A P}=\frac{2}{3}$ nên $\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_3 / / \mathrm{MP}$ (theo định lí Thalès đảo).
Mà $M P \subset(B C D)$ nên $G_1 G_3 / /(B C D)$.
Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{A G_2}{A N}=\frac{A G_3}{A P}=\frac{2}{3}$ nên $\mathrm{G}_2 \mathrm{G}_3 / / \mathrm{NP}$ (theo định lí Thalès đảo).
Mà $N P \subset(B C D)$ nên $G_2 G_3 / /(B C D)$.
Ta có: $\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_3 / /(\mathrm{BCD})$;
$
\mathrm{G}_2 \mathrm{G}_3 / /(B C D) \text {; }
$
$\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_3, \mathrm{G}_2 \mathrm{G}_3$ cắt nhau tại $\mathrm{G}_3$ và cùng nằm trong $\mathrm{mp}\left(\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_2 \mathrm{G}_3\right)$.
Do đó $\left(\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_2 \mathrm{G}_3\right) / /(\mathrm{BCD})$.

1. Nội dung câu hỏi

Xác định giao tuyến của mặt phẳng (G₁G₂G₃) với mặt phẳng (ABD).

2. Phương pháp giải

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thằng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $B, D$ cùng thuộc hai mặt phẳng $(A B D)$ và $(B C D)$ nên $(A B D) \cap(B C D)=B D$.
Giả sử $(A B D) \cap\left(G_1 G_2 G_3\right)=d$.
Ta có: $\left(\mathrm{G}_1 \mathrm{G}_2 \mathrm{G}_3\right) / /(\mathrm{BCD})$;
$(A B D) \cap(B C D)=B D$;
$(A B D) \cap\left(G_1 G_2 G_3\right)=d$.
Suy ra d // BD.
Mà $G_3 \in(A B D)$ và $G_3 \in\left(G_1 G_2 G_3\right)$ nên $G_3$ là giao điểm của $\left(G_1 G_2 G_3\right)$ và $(A B D)$.
Do đó giao tuyến $d$ của hai mặt phẳng $\left(G_1 G_2 G_3\right)$ và $(A B D)$ đi qua điểm $G_3$ và song song với $B D$, cắt $A B, A D$ lần lượt tại I và $K$.
Vậy $\left(G_1 G_2 G_3\right) \cap(A B D)=I K$.