Câu hỏi 3 - Mục Bài tập trang 15

1. Nội dung câu hỏi

$\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$

2. Phương pháp giải

Dựa vào giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

3. Lời giải chi tiết
Các giá trị lượng giác của góc lượng giác $\frac{\pi }{3}+k2\pi (k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$ :
$\cos \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$
$\sin \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\tan \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\tan \frac{\pi }{3}=\sqrt{3}$
$\cot \left(\frac{\pi }{3}+k2\pi \right)=\cot \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
 

1. Nội dung câu hỏi

$\mathrm{k}\pi (\mathrm{k}\in \mathrm{Z})$

2. Phương pháp giải

Dựa vào giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

3. Lời giải chi tiết

Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ (k ∈ ℤ):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k = 2n (n ∈ ℤ) thì kπ = 2nπ, ta có:

 cos(kπ) = cos(2nπ) = cos0 = 1;

 sin(kπ) = sin(2nπ) = sin0 = 0;

 tan(kπ) = tan(2nπ) = tan0 = 0;

Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k = 2n + 1 (n ∈ ℤ) thì kπ = (2n + 1)π = 2nπ + π, ta có:

cos(kπ) = cos(2nπ + π) = cosπ = ‒1.

sin(kπ) = sin(2nπ + π) = sinπ = 0.

tan(kπ) = tan(2nπ + π) = tanπ = 0.

Do sin(kπ) = 0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k ∈ ℤ thì sin(kπ) = 0; tan(kπ) = 0; cot(kπ) không xác định;

cos(kπ) = 1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ) = ‒1 khi k là số nguyên lẻ.

1. Nội dung câu hỏi

$\frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$

2. Phương pháp giải

Dựa vào giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

3. Lời giải chi tiết

- Nếu k là số chẵn, tức $k=2n(n\in Z)$ thì $k\pi =2n\pi$, ta có:
$\cos \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\cos \frac{\pi }{2}=0;$
$\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\sin \frac{\pi }{2}=1;$

- Do $\cos \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$ nên $\tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ không xác định;
$\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi \right)=\cot \frac{\pi }{2}=0$
- Nếu k là số lẻ, tức $k=2n+1(n\in Z)$ thì $k\pi =(2n+1)\pi =2n\pi +\pi$, ta có:
$\cos \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=-\cos \frac{\pi }{2}=0$
$\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=-\sin \frac{\pi }{2}=-1$
- Do $\cos \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$ nên $\tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ không xác định;
$\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+2n\pi +\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{2}+\pi \right)=\cot \frac{\pi }{2}=0\text{. }$
Vậy với $\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ thì $\cos \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0;\cot \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=0$;
$\tan \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ không xác định;
$\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=1$ khi k là số chẵn và $\sin \left(\frac{\pi }{2}+k\pi \right)=-1$ khi k là số lẻ.

1. Nội dung câu hỏi

$\frac{\pi }{4}+k\pi (k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$

2. Phương pháp giải

Dựa vào giá trị lượng giác của các góc đặc biệt.

3. Lời giải chi tiết

- Nếu k là số chẵn, tức $k=2n(n\in \mathrm{\mathbb{Z}})$ thì $k\pi =2n\pi$, ta có:
$\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\tan \frac{\pi }{4}=1;$
$\cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi \right)=\cot \frac{\pi }{4}=1.$

- Nếu k là số lẻ, tức $k=2n+1(n\in \mathrm{\mathbb{Z}})$ thì $k\pi =(2n+1)\pi =2n\pi +\pi$, ta có:
$\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\cos \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=-\cos \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\sin \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=-\sin \frac{\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2};$
$\tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\tan \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=\tan \frac{\pi }{4}=1;$
$\cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+2n\pi +\pi \right)=\cot \left(\frac{\pi }{4}+\pi \right)=\cot \frac{\pi }{4}=1$

Vậy với $\mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ thì:
$\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên chắn, $\cos \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên lẻ;
$\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên chẵn, $\sin \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ khi k là số nguyên lẻ; 

$\tan \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1;\cot \left(\frac{\pi }{4}+k\pi \right)=1$