Câu hỏi 3 - Mục Bài tập trang 19

1. Nôi dung câu hỏi

$\sin \alpha =\frac{5}{13}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$.

2. Phương pháp giải

Dựa vào hệ thức cơ bản của hàm lượng giác để tính

3. Lời giải chi tiết

Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\left(\frac{5}{13}\right)}^2+{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{12}{13}$

Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi \Rightarrow \cos \alpha =\frac{-12}{13}$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{l}\tan \alpha=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}=\frac{-5}{12} \\ \cot \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}=\frac{-12}{5}\end{array}\right.$

1. Nôi dung câu hỏi

$\cos \alpha =\frac{2}{5}$ và $0<\alpha <90°$.

2. Phương pháp giải

Dựa vào hệ thức cơ bản của hàm lượng giác để tính

3. Lời giải chi tiết

Ta có: ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow {\left(\frac{2}{5}\right)}^2+{\sin }^2\alpha =1\Rightarrow \sin \alpha =\pm \frac{\sqrt{21}}{5}$

Do $0<\alpha <{90}^{\circ }\Rightarrow \sin \alpha =\frac{\sqrt{21}}{5}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{21}}{2}\\ \cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{2\sqrt{21}}{21}\end{array}$

1. Nôi dung câu hỏi

$\tan \alpha =\sqrt{3}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$.

2. Phương pháp giải

Dựa vào hệ thức cơ bản của hàm lượng giác để tính

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow 1+(\sqrt{3}{)}^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow \cos \alpha =\pm \frac{1}{2}$

$\text{ Do }\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}\Rightarrow \cos \alpha =\frac{-1}{2}\Rightarrow \{\begin{array}{c} cot\alpha · tan\alpha =1\\ tan\alpha =\frac{ sin\alpha }{ cos\alpha }\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{c}\cot \alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}\\ \sin \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}\end{array}$

1. Nôi dung câu hỏi

$\cot \alpha =\frac{1}{2}$ và $270°<\alpha <360°$.

2. Phương pháp giải

Dựa vào hệ thức cơ bản của hàm lượng giác để tính

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow 1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow \sin \alpha =\pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Do $270°<\alpha <360°\Rightarrow \sin \alpha =\frac{-2\sqrt{5}}{5}$.

Ta có: $\cot \alpha =\frac{1}{2}\Rightarrow \tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=2$

Lại có: $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\iff 1+4=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\iff {\cos }^2\alpha =\frac{1}{5}\iff \cos \alpha =\pm \frac{\sqrt{5}}{5}$

Do $270°<\alpha <360°\Rightarrow \cos \alpha >0\Rightarrow \cos \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}$