Câu hỏi 4 - Mục Bài tập trang 109

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng (AFD) // (BEC).

2. Phương pháp giải

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thằng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

3. Lời giải chi tiết

Ta có: BE // AF (do ABEF là hình bình hành);

           AF ⊂ (AFD)

Do đó BE // (AFD).

Ta cũng có: BC // AD (do ABCD là hình bình hành)

                   AD ⊂ (AFD)

Do đó BC // (AFD).

Do BE // (AFD);

     BC // (AFD);

     BE, BC cắt nhau tại điểm B và cùng nằm trong mp(BEC)

Suy ra (AFD) // (BEC).

1. Nội dung câu hỏi

Gọi $\mathrm{M}$ là trọng tâm của tam giác $\mathrm{ABE}$. Gọi $(\mathrm{P})$ là mặt phẳng đi qua $\mathrm{M}$ và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy $\mathrm{N}$ là giao điểm của (P) và AC. Tính $\frac{A N}{N C}$.

2. Phương pháp giải

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thằng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

3. Lời giải chi tiết

+) Do (AFD) song song với (P) nên tồn tại hai đường thẳng trong (AFD) song song với (P). 

• Trong mp(ABEF), qua điểm M vẽ đường thẳng song song với AF, đường thẳng này cắt AB, EF lần lượt tại I, J. 

Khi đó IJ // AF, mà AF ⊂ (AFD) nên IJ // (AFD). 

• Trong mp(ABCD), qua điểm I vẽ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại K. 

Khi đó IK // AD, mà AD ⊂ (AFD) nên IK // (AFD). 

• Ta có: IJ // (AFD); IK // (AFD); IJ, IK cắt nhau tại điểm I và cùng nằm trong mp(IJK). 

Do đó (IJK) // (AFD). 

Mà M ∈ IJ, IJ ⊂ (IJK) nên mp (P) đi qua M và song song với (AFD) chính là mp(IJK). 

+) Trong mp(ABCD), AC cắt IK tại N, khi đó N là giao điểm của AC và (P). 

Trong mp(ABCD), xét tam giác ABC có IN // BC (do IK // AD // BC) nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}$

Trong mp(ABEF), xét tam giác ABF có IM // AF nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{AI}{IB}=\frac{FM}{MB}$. 

Gọi $O$ là tâm hình bình hành $ABEF$. Khi đó $O$ là trung điểm của $FB$ nên $FO=OB$. 

Do M là trọng tâm của $△ABE$ nên $MB=\frac{2}{3}OB$ và $OM=\frac{1}{3}OB$. 

Ta có: $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}=\frac{FM}{MB}=\frac{FO+OM}{MB}=\frac{OB+\frac{1}{3}OB}{\frac{2}{3}OB}=\frac{\frac{4}{3}OB}{\frac{2}{3}OB}=2$. 

Vậy $\frac{AM}{NC}=2$.