Câu hỏi 4.44 - Mục Bài tập trang 103

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng GK // (ABCD).

2. Phương pháp giải

Sử dụng định lí Thales.

3. Lời giải chi tiết

Gọi $\mathrm{H}$, I lần lượt là trung điểm của $A D$ và $C D$.
Vi $\mathrm{G}, \mathrm{K}$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $\mathrm{SAD}, \mathrm{SCD}$ nên theo tính chất trọng tâm trong tam giác ta có $\mathrm{S}, \mathrm{G}, \mathrm{H}$ thẳng hàng, $\mathrm{S}, \mathrm{K}, \mathrm{I}$ thẳng hàng và $\frac{S G}{S H}=\frac{1}{3} ; \frac{S K}{S I}=\frac{1}{3}$.
Xét tam giác SHI có $\frac{S G}{S H}=\frac{S K}{S I}\left(=\frac{1}{3}\right)$, suy ra GK // HI (định lí Thalés).
Vi $\mathrm{H}$ thuộc $\mathrm{AD}$ nên $\mathrm{H}$ thuộc mặt phẳng $(\mathrm{ABCD})$, vì I thuộc $\mathrm{CD}$ nên I thuộc mặt phẳng $(\mathrm{ABCD})$. Do đó, mặt phẳng $(\mathrm{ABCD})$ chứa đường thẳng $\mathrm{HI}$.
Đường thẳng $\mathrm{GK}$ song song với đường thẳng $\mathrm{HI}$ và đường thẳng $\mathrm{HI}$ nằm trong mặt phẳng $(\mathrm{ABCD})$ nên $\mathrm{GK} / /(\mathrm{ABCD})$.

1. Nội dung câu hỏi

Mặt phẳng chứa đường thẳng GK và song song với mặt phẳng (ABCD) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, E, F. Chứng minh rằng tứ giác MNEF là hình bình hành.

2. Phương pháp giải

Chứng minh tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

3. Lời giải chi tiết

Trong mặt phẳng (SAD), từ G kẻ đường thẳng song song với AD, cắt SA, SD lần lượt tại M và F, suy ra MF // AD nên MF // (ABCD).

Trong mặt phẳng (SCD), nối F với K, đường thẳng FK cắt SC tại E.

Trong mặt phẳng (SBC), từ E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt SB tại N.

Xét tam giác SHD có GF // HD (do MF // AD), theo định lí Thalés suy ra $\frac{S F}{S D}=\frac{S G}{S H}=\frac{1}{3}$.
Xét tam giác SDI có $\frac{S F}{S D}=\frac{S K}{S I}\left(=\frac{1}{3}\right)$, do đó FK // DI hay EF // DC, suy ra EF // (ABCD).
Vi $\mathrm{MF} / / \mathrm{CD}, \mathrm{NE} / / \mathrm{BC}, \mathrm{AD} / / \mathrm{BC}$ nên $\mathrm{MF} / / \mathrm{NE}$, suy ra bốn điểm $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ đồng phẳng.
Mặt phẳng (MNEF) chứa hai đường thẳng cắt nhau $\mathrm{MF}$ và $\mathrm{EF}$ cùng song song với mặt phẳng $(\mathrm{ABCD})$. Do đó, hai mặt phẳng ( $\mathrm{MNEF}$ ) và $(A B C D)$ song song với nhau.
Vi G thuộc MF nên G thuộc mặt phẳng (MNEF), vì K thuộc $E F$ nên $K$ thuộc mặt phẳng (MNEF).
Vậy mặt phẳng chứa đường thẳng $\mathrm{GK}$ và song song với mặt phẳng $(\mathrm{ABCD})$ cắt các cạnh $\mathrm{SA}, \mathrm{SB}, \mathrm{SC}$, $\mathrm{SD}$ lần lượt tại $\mathrm{M}, \mathrm{N}, \mathrm{E}, \mathrm{F}$ là mặt phẳng (MNEF).
Xét tam giác $S A D$ có $M F / / A D$ nên $\frac{M F}{A D}=\frac{S F}{S D}=\frac{1}{3}$.
Xét tam giác $\mathrm{SCD}$ có $\mathrm{EF} / / \mathrm{CD}$ nên $\frac{S E}{S C}=\frac{S F}{S D}=\frac{1}{3}$.
Xét tam giác SBC có $\mathrm{NE} / / \mathrm{BC}$ nên $\frac{N E}{B C}=\frac{S E}{S C}=\frac{1}{3}$.
Do đó, $\frac{M F}{A D}=\frac{N E}{B C}\left(=\frac{1}{3}\right)$, mà $\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$ (do $\mathrm{ABCD}$ là hình bình hành) nên $\mathrm{MF}=\mathrm{NE}$.
Xét tứ giác MNEF có MF = NE và MF // NE nên tứ giác MNEF là hình bình hành.