Câu hỏi 4.45 - Mục Bài tập trang 103

1. Nội dung câu hỏi

BD // B'D', (A'BD) // (CB'D') và MN // (BDD'B');

2. Phương pháp giải

Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường nằm trong (P) thì a song song với (P).

3. Lời giải chi tiết

Vì ABCD.A'B'C'D' là hình hộp nên các mặt của nó là hình bình hành và các cạnh bên AA', BB', CC', DD' đôi một song song và bằng nhau.

Xét tứ giác BDD'B' có BB' = DD' và BB' // DD' nên BDD'B' là hình bình hành.

Suy ra BD // B'D'. Do đó, BD // (CB'D').

Vì A'B'C'D' là hình bình hành nên A'D' // B'C' và A'D' = B'C'.

Vì BCC'B' là hình bình hành nên BC // B'C' và BC = B'C'.

Do đó, A'D' // BC và A'D' = BC nên A'D'CB là hình bình hành.

Suy ra A'B // D'C. Do đó, A'B // (CB'D').

Mặt phẳng (A'BD) chứa hai đường thẳng cắt nhau BD và A'B cùng song song với mặt phẳng (CB'D') nên (A'BD) // (CB'D').

Gọi E là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình bình hành ABCD. Khi đó E là trung điểm của AC và BD. Lại có M là trung điểm của AD nên ME là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra ME // AB và $M E=\frac{1}{2} A B(1)$.

Vì $\mathrm{N}$ là trung điểm của $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ nên $\mathrm{NB} \mathrm{B}^{\prime}=\frac{1}{2} A^{\prime} B^{\prime}$. Mà $\mathrm{AB}=\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ và $\mathrm{AB} / / \mathrm{A}^{\prime} \mathrm{B}^{\prime}$ nên suy ra $\mathrm{NB} \mathrm{B}^{\prime} / / \mathrm{AB}$ và $\mathrm{NB} \mathrm{B}^{\prime}=\frac{1}{2} \mathrm{AB}(2)$.

Từ (1) và (2) suy ra ME // NB' và ME = NB' nên tứ giác MEB'N là hình bình hành.

Suy ra MN // B'E.

Vì E thuộc BD nên E thuộc mặt phẳng (BDD'B'), do đó đường thẳng B'E nằm trong mặt phẳng (BDD'B').

Vậy MN // (BDD'B').

1. Nội dung câu hỏi

Đường thẳng AC' đi qua trọng tâm G của tam giác A'BD.

2. Phương pháp giải

Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và song song với một đường nằm trong (P) thì a song song với (P).

3. Lời giải chi tiết

Vì E thuộc AC nên E thuộc mặt phẳng (ACC'A').

Trong mặt phẳng (ACC'A') gọi G là giao điểm của A'E và AC', gọi I là giao điểm của AC' và AC.

Mà E thuộc BD nên E thuộc mặt phẳng (A'BD) nên A'E nằm trong mặt phẳng (A'BD). Vì G thuộc A'E nên G thuộc mặt phẳng (A'BD). Do đó, G là giao điểm của AC' và mặt phẳng (A'BD).

Tứ giác ACCA' có AA' = CC' và AA' // CC' nên ACC'A' là hình bình hành.

Suy ra I là giao điểm của hai đường chéo AC' và A'C nên I là trung điểm của AC' và A'C.

Xét tam giác AA'C có AI, A'E là các đường trung tuyến và G là giao của AI và A'E (do G là giao của AC' và A'E) nên G là trọng tâm của tam giác AA'C.

Suy ra $\frac{A^{\prime} G}{A E}=\frac{2}{3}$.
Xét tam giác $\mathrm{A} B D$ có $\mathrm{A}^{\prime} E$ là đường trung tuyến (do $\mathrm{E}$ là trung điểm của $\mathrm{BD}$ ) và $\frac{A^{\prime} G}{A E}=\frac{2}{3}$ nên $\mathrm{G}$ là trọng tâm của tam giác $\mathrm{A}^{\prime} \mathrm{BD}$.
Vậy đường thẳng $\mathrm{AC}$ 'đi qua trọng tâm $\mathrm{G}$ của tam giác $\mathrm{A}$ ' $\mathrm{BD}$.