Câu hỏi 5 - Mục Bài tập trang 106

1. Nội dung câu hỏi

Hãy nói cách xác định hai điểm M và N. Cho AB = a. Tính MN theo a.

2. Phương pháp giải

- Để xác định hai điểm $M$ và $N$, ta sử dụng tính chất về giao tuyến của hai mặt phẳng và định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng. 

- Để tính độ dài đoạn thẳng $M N$, ta sử dụng định lí Medelaus và định lí Thales.

3. Lời giải chi tiết

+) Trong mặt phẳng (SBD) có DI cắt SB tại N.

Mà DI ⊂ (ICD)

Do đó (ICD) cắt SB tại N.

+) Trong mặt phẳng (SAC) có CI cắt SA tại M.

Mà CI ⊂ (ICD)

Do đó (ICD) cắt SA tại M.

- Ta có:
$
\begin{aligned}
& A B=(S A B) \cap(A B C \mathrm{D}) \\
& C \mathrm{D}=(I C \mathrm{D}) \cap(A B C \mathrm{D}) \\
& M N=(S A B) \cap(I C \mathrm{D}) \\
& A B \| C \mathrm{D}
\end{aligned}
$
Do đó theo định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng ta có: $A B\|C \mathrm{D}\| M N$. Áp dụng định lí Medelaus cho tam giác $S O A$ với cát tuyến $C I M$, ta có:
$
\frac{S M}{M A} \cdot \frac{A C}{O C} \cdot \frac{O I}{S I}=1 \Leftrightarrow \frac{S M}{M A} \cdot 2 \cdot 1=1 \Leftrightarrow \frac{S M}{M A}=\frac{1}{2}
$
Xét tam giác $S A B$ có $M N \| A B$. Theo định lí Thales ta có:
$
\frac{M N}{A B}=\frac{S M}{M A}=\frac{1}{2} \Leftrightarrow M N=\frac{1}{2} A B=\frac{a}{2}
$

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng (CDMN), gọi K là giao điểm của CN và DM. Chứng minh SK // BC //AD.

2. Phương pháp giải

Áp dụng định lí 2 về giao tuyến của ba mặt phẳng.

3. Lời giải chi tiết

Ta có:

(SAD) ∩ (ABCD) = AD

(SBC) ∩ (ABCD) = BC

(SAD) ∩ (SBC) = SK

Mà AD // BC

⇒ SK // AD // BC.