Câu hỏi 5 - Mục Bài tập trang 79

1. Nội dung câu hỏi

Với $a=0, b=1$, xét tính liên tục của hàm số tại $x=2$.

2. Phương pháp giải

Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục tại $x_0$ nếu $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=f\left(x_0\right)$

3. Lời giải chi tiết

Với $\mathrm{a}=0, \mathrm{~b}=1$, hàm số $f(x)= \begin{cases}2 x & x<2 \\ 4 & x=2 \\ -3 x+1 & x>2\end{cases}$
Ta có:
$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}}(-3 x+1)=-3.2+1=-5 \\
& \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}}(2 x)=2.2=4 \\
& \Rightarrow \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x) \neq \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
\end{aligned}
$
Do đó không tồn tại giới hạn $\lim _{x \rightarrow 2} f(x)$
Vậy hàm số không liên tục tại $x=2$.

1. Nội dung câu hỏi

Với giá trị nào của $\mathrm{a}, \mathrm{b}$ thì hàm số liên tục tại $x=2$ ?

2. Phương pháp giải

Hàm số $y=f(x)$ được gọi là liên tục tại $x_0$ nếu $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=f\left(x_0\right)$

3. Lời giải chi tiết

Ta có:
$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}}(-3 x+b)=-3.2+b=-6+b \\
& \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{-}}(2 x+a)=2.2+a=4+a \\
& f(2)=4
\end{aligned}
$
Để hàm số liên tục tại $x=2$ thì $\lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)=f(2)$
$
\Leftrightarrow-6+b=4+a=4 \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { l } 
{ 4 + a = 4 } \\
{ - 6 + b = 4 }
\end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}
a=0 \\
b=10
\end{array}\right.\right.
$
Vậy với $\mathrm{a}=0$ và $\mathrm{b}=10$ thì hàm số liên tục tại $x=2$.

1. Nội dung câu hỏi

Với giá trị nào của a, b thì hàm số liên tục trên tập xác định?

2. Phương pháp giải

Các hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$

3. Lời giải chi tiết

Tập xác định của hàm số là: $\mathbb{R}$.
Với $x<2$ thì $f(x)=2 x+a$ là hàm đa thức nên liên tục.

Với $x>2$ thì $f(x)=-3 x+b$ là hàm đa thức nên liên tục.
Do đó để hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ thì hàm số $f(x)$ liên tục tại $x=2$.
Vậy với $a=0$ và $b=10$ thỏa mãn điều kiện.