Câu hỏi 5.34 - Mục Bài tập trang 124

1. Nội dung câu hỏi

Tìm các giá trị của $a$ để hàm số $f(x)=\left\{\begin{array}{c}x+1, x \leq a \\ x^2, a>a\end{array}\right.$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

2. Phương pháp giải

Hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ khi $f(x)$ liên tục tại mọi điểm thuộc $\mathbb{R}$.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $\mathrm{f}(\mathrm{x})=\left\{\begin{array}{ll}\mathrm{x}+1 & \text { nếu } \mathrm{x} \leq \mathrm{a} \\ \mathrm{x}^2 & \text { nếu } \mathrm{x}>\mathrm{a}\end{array}\right.$. Tập xác định của hàm số $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ là $\mathbb{R}$.
+) Với $x<a$ thì $f(x)=x+1$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên $(-\infty ; a)$.
+) Với $x>a$ thì $f(x)=x^2$ là hàm đa thức nên nó liên tục trên $(a ;+\infty)$.
+) Tại $x=a$, ta có $f(a)=a+1$.
$
\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{-}}(x+1)=a+1 ; \lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} x^2=a^2 .
$
Để hàm số $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ đã cho liên tục trên $\mathbb{R}$ thì $\mathrm{f}(\mathrm{x})$ phải liên tục tại $\mathrm{x}=\mathrm{a}$, điều này xảy ra khi và chỉ khi $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow a^{-}} f(x)=f(a) \Leftrightarrow$ $a+1=a^2 \Leftrightarrow a^2-a-1=0$
Suy ra $a=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ hoặc $a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.
Vậy $\mathrm{a} \in\left\{\frac{1-\sqrt{5}}{2} ; \frac{1+\sqrt{5}}{2}\right\}$ thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.