Đề bài
Chứng minh các bất đẳng thức \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\,{{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1\) với mọi \(n \in N*\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Xét hiệu hai vế cần đánh giá và so sánh với \(0\).
Lời giải chi tiết
\(\eqalign{
& {{{n}} \over {{n^2} + 1}} - {1 \over 2} = {{2n - ({n^2} + 1)} \over {2({n^2} + 1)}} \cr & = \frac{{ - {n^2} + 2n - 1}}{{2\left( {{n^2} + 1} \right)}} = \frac{{ - \left( {{n^2} - 2n + 1} \right)}}{{2\left( {{n^2} + 1} \right)}}\cr &= {{ - {{(n - 1)}^2}} \over {2({n^2} + 1)}} \le 0;\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& \text{Vì } 2\left( {{n^2} + 1} \right) > 0\text { và } - {\left( {n - 1} \right)^2} \le 0,\forall n\in N^*\cr &\Rightarrow {n \over {{n^2} + 1}} \le {1 \over 2};\,\,\forall n \in {N^*} \cr
& {{{n^2} + 1} \over {2n}} - 1 = {{{n^2} + 1 - 2n} \over {2n}} \cr &= {{{{(n - 1)}^2}} \over {2n}} \ge 0;\,\,\forall n \in N* \cr
& \text{Vì } 2n > 0\text { và } {\left( {n - 1} \right)^2} \ge 0,\forall n\in N^*\cr & \Rightarrow {{{n^2} + 1} \over {2n}} \ge 1;\,\,\forall n \in {N^*} \cr} \)
Bài 6. Tiết 1: Tự nhiên và dân cư Hoa Kì - Tập bản đồ Địa lí 11
PHẦN HAI. LỊCH SỬ THẾ GIỚI HIỆN ĐẠI (Phần từ năm 1917 đến năm 1945)
Chuyên đề II. Làm quen với một vài yếu tố của lí thuyết đồ thị
Unit 3: Global warming
Unit 7: Things that Matter
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11