Câu hỏi 7 - Mục Bài tập trang 80

1. Nội dung câu hỏi

Tìm giới hạn của các dãy số $\left(p_n\right)$ và $\left(S_n\right)$.

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S=\frac{u_1}{1-q}$.
Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh.
Diện tích tam giác bằng một nửa chiều cao nhân cạnh đáy tương ứng.

3. Lời giải chi tiết

+) $\left(\mathrm{p}_{\mathrm{n}}\right)$ là dãy số chu vi của các tam giác theo thứ tự $\mathrm{ABC}, \mathrm{A}_1 \mathrm{~B}_1 \mathrm{C}_1, \ldots$
Ta có:
$
\begin{aligned}
& \mathrm{p}_2=p_{\triangle A_1 B_1 C_1}=\frac{a}{2}+\frac{a}{2}+\frac{a}{2}=\frac{1}{2} \cdot(3 a)=\frac{1}{2} \cdot p_1 \\
& \mathrm{p}_3=p_{\Delta A_2 B_2 C_2}=\frac{a}{4}+\frac{a}{4}+\frac{a}{4}=\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot(3 a)=\left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot p_1 \\
& \ldots \\
& p_{\Delta A_n B_n C_n}=\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \cdot p_1 \\
& \ldots \\
& \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} p_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \cdot(3 a)\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty}(3 a)=0.3 a=0 .
\end{aligned}
$

$+)\left(\mathrm{S}_n\right)$ là dãy số diện tích của các tam giác theo thứ tự $\mathrm{ABC}, \mathrm{A}_1 \mathrm{~B}_1 \mathrm{C}_1, \ldots$
Gọi $h$ là chiều cao của tam giác $\mathrm{ABC}$ và $\mathrm{h}=\frac{a \sqrt{3}}{2}$.
Ta có:
$
\begin{aligned}
& \mathrm{S}_3=S_{\triangle A_2 B_2 C_2}=\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{4} \cdot \frac{h}{4}=\left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot\left(\frac{1}{2} a h\right)=\left(\frac{1}{4}\right)^2 \cdot S_1 \\
& \ldots \\
& S_{\triangle A_n B_n C_n}=\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} \cdot S_1 \\
& \ldots \\
& \Rightarrow \lim _{n \rightarrow \infty} S_n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} \cdot S_1\right)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} \cdot \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2} a h\right)=0 \cdot \frac{1}{2} a h=0 .
\end{aligned}
$

1. Nội dung câu hỏi

Tìm các tổng $p_1+p_2+\ldots+p_n+\ldots$ và $S_1+S_2+\ldots+S_n+\ldots$.

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S=\frac{u_1}{1-q}$.
Chu vi tam giác bằng tổng ba cạnh.
Diện tích tam giác bằng một nửa chiều cao nhân cạnh đáy tương ứng.

3. Lời giải chi tiết

+) Ta có $\left(\mathrm{p}_{\mathrm{n}}\right)$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $\mathrm{p}_1=3$ a và công bội $\mathrm{q}=\frac{1}{2}$ thỏa mãn $|q|<1$ có tổng: $p_1+p_2+\ldots+p_n+\ldots=\frac{3 a}{1-\frac{1}{2}}=6 a$
+) Ta có $\left(\mathrm{S}_n\right)$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $\mathrm{S}_1=\frac{1}{2} a h$ và công bội $q=\frac{1}{4}$ thỏa mãn $|q|<1$ có tổng:
$
S_1+S_2+\ldots+S_n+\ldots=\frac{\frac{1}{2} a h}{1-\frac{1}{4}}=\frac{2}{3} a h=\frac{2}{3} a \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2}=\frac{a^2 \sqrt{3}}{3}
$