Câu hỏi 8 - Mục Bài tập trang 81

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh tứ giác ABDC là hình thoi.

2. Phương pháp giải

Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi.

3. Lời giải chi tiết

Ta có D đối xứng với A qua BC nên M là trung điểm của AD và AD ⊥ BC.

Tứ giác ABDC có hai đường chéo AD và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành.

Lại có hai đường chéo AD ⊥ BC nên hình bình hành ABDC là hình thoi.

1. Nội dung câu hỏi

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, lấy điểm O sao cho E là trung điểm của OM. Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau.

2. Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của tam giác cân, chứng minh AM vuông góc với BC. Chứng minh OAMB là hình bình hành.

Chứng minh OB // AM.

Chứng minh $∆AOB=∆MBO$ (hai tam giác vuông)

3. Lời giải chi tiết

Ta có E là trung điểm của AB và OM nên hai đường chéo của tứ giác OAMB cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành.

Suy ra OA // BM và OB // AM.

Ta có OB // AM và AM ⊥ BM nên OB ⊥ BM, do đó ∆MBO vuông tại B.

Ta có OA // BM và OB ⊥ BM nên OA ⊥ OB, do đó ∆AOB vuông tại O.

Do OAMB là hình bình hành nên OA = BM và OB = AM.

Xét ∆MBO vuông tại B và ∆AOB vuông tại O có:

OB = AM; BM = OA

Do đó ∆MBO = ∆AOB (hai cạnh góc vuông).

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.

2. Phương pháp giải

Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi.

3. Lời giải chi tiết

Do ∆MBO = ∆AOB nên OM = AB

Mà $EM=EO=\frac{1}{2}OM;EA=EB=\frac{1}{2}AB$

Suy ra $EO=EA=EM=EB$ (1)

Xét $∆ABC$ cân ta có: $\widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ACB}}$ và $AB=AC$

Mà $EA=EB=\frac{1}{2}AB; FA=FC=\frac{1}{2}AC$

Suy ra $AE=EB=FA=FM$ (2)

Xét $∆BEM$ và $∆CMF$ ta có:

$$\begin{gathered} BE=CF\left(\mathrm{cmt}\right) \\ \widehat{\mathrm{ABC}}=\widehat{\mathrm{ACB}}\left(\mathrm{cmt}\right) \\ BM=CM\left(\mathrm{gt}\right) \\ \Rightarrow \Delta BEM=\Delta CFM(\mathrm{c}-\mathrm{g}-\mathrm{c}) \\ \Rightarrow EM=FM\left(3\right) \end{gathered}$$

Từ (1), (2), (3) suy ra $AE=AF=FM=ME$

Suy ra AEMF là hình thoi.