Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 1 - Bài 4 - Chương 1 - Đại số 9

Đề bài

Bài 1. Rút gọn :

a. \(A = \dfrac{{\sqrt {{x^2} - 10x + 25} }}{{x - 5}}\)

b. \(B = \left( {2x - y} \right).\sqrt {\dfrac{4}{{4{x^2} - 4xy + {y^2}}}} {\rm{ }}\)

Bài 2. Tìm x, biết:

a.\(\sqrt {\dfrac{8}{{x - 1}}}  = \sqrt 2 {\rm{ }}\)

b. \(\dfrac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{\sqrt {x - 1} }} = 2\)

Bài 3. Chứng minh rằng: 

\(\sqrt {\dfrac{{a + \sqrt {{a^2} - 1} }}{2}}  + \sqrt {\dfrac{{a - \sqrt {{a^2} - 1} }}{2}}  = \sqrt {a + 1} \;\left( {a > 1} \right)\)

LG bài 1

Phương pháp giải:

Sử dụng \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

\(\sqrt {\dfrac{A}{B}}  = \dfrac{{\sqrt A }}{{\sqrt B }}\) với \(A \ge 0,B > 0\)

Lời giải chi tiết:

a.  Ta có: \(\displaystyle A = {{\left| {x - 5} \right|} \over {x - 5}} = \left\{ {\matrix{   {1\,\text{ nếu }\,x > 5}  \cr   { - 1\,\text{ nếu }\,x < 5}  \cr  } } \right.\)

b. Ta có: \(\displaystyle B = \left( {2x - y} \right){2 \over {\left| {2x - y} \right|}}\)\(\displaystyle = \left\{ {\matrix{   {2\,\text{ nếu }\,2x > y}  \cr   { - 2\,\text{ nếu }\,2x < y}  \cr  } } \right.\)

LG bài 2

Phương pháp giải:

Sử dụng:

\(\sqrt A = \sqrt B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
B \ge 0\\
A = B
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

a. \(\sqrt {{8 \over {x - 1}}}  = \sqrt 2  \Leftrightarrow {8 \over {x - 1}} = 2 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {x \ne 1}  \cr   {x - 1 = 4}  \cr  } } \right. \Leftrightarrow x = 5\)

Vậy \(x=5\)

b. \({{\sqrt {{x^2} - 1} } \over {\sqrt {x - 1} }} = 2 \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {x > 1}  \cr   {\sqrt {{{{x^2} - 1} \over {x - 1}}}  = 2}  \cr  } } \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
\sqrt {\frac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}} = 2
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ {\matrix{   {x > 1}  \cr   {\sqrt {x + 1}  = 2}  \cr  } } \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x + 1 = 4
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow x = 3\)

Vậy \(x=3\)

LG bài 3

Phương pháp giải:

Bình phương hai vế và sử dụng \(\sqrt {{A^2}}  = \left| A \right|\)

Lời giải chi tiết:

Bình phương hai vế, ta được:

\( {{a + \sqrt {{a^2} - 1} } \over 2} + 2\sqrt {{{{a^2} - \sqrt {{{\left( {{a^2} - 1} \right)}^2}} } \over 4}}  + {{a - \sqrt {{a^2} - 1} } \over 2} \)\(= a + 1 \)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \frac{{a + \sqrt {{a^2} - 1} + a - \sqrt {{a^2} - 1} }}{2} + 2.\frac{{\sqrt {{a^2} - {a^2} + 1} }}{2} = a + 1\\
\Leftrightarrow \frac{{2a}}{2} + 2.\frac{1}{2} = a + 1
\end{array}\)

\(⇔ a + 1 = a + 1\) (luôn đúng)

Vì hai vế đều dương nên đẳng thức cần chứng minh là đúng.