Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Bài 1 - Chương 2 - Hình học 9

Đề bài

Cho ∆ABC đều có cạnh bằng a, các đường cao BD và CE cắt nhau tại H. 

a. Chứng minh rằng bốn điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn. Hãy xác định tâm bán kính của đường tròn đó.

b. Chứng minh rằng điểm H nằm trong đường tròn và điểm A nằm ngoài đường tròn đi qua bốn điểm B, E, D, C.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng: 

a) Để chứng minh 4 điểm cùng thuộc một đường tròn, ta chứng minh 4 điểm đó cùng cách đều một điểm cố định

b) Nếu A nằm trên đường tròn (O;R) thì OA=R

Nếu A nằm trong đường tròn (O; R) thì OA<R

Nếu A nằm ngoài đường tròn (O;R) thì OA>R.

Lời giải chi tiết

a. Gọi O là trung điểm của BC, các tam giác vuông BDC và BEC có OD, OE là các đường trung tuyến thuộc cạnh huyền BC nên

\(\eqalign{  & OD = OE = {1 \over 2}BC  \cr  & hay\,OD = OE = OB = OC = {1 \over 2}a \cr} \)

Vậy bốn điểm B, E, D, C thuộc cùng một đường tròn, tâm O là trung điểm của BC và bán kính bằng \({1 \over 2}BC = {1 \over 2}a\)

b. ∆ABC đều nên trực tâm H cũng đồng thời là trọng tâm, AO là trung tuyến nên đồng thời là đường cao và A, H, O thẳng hàng.

Xét tam giác vuông AOB, ta có:

\(AO = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} \) (định lí Pi-ta-go )

\( = \sqrt {{a^2} - {{\left( {{a \over 2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{3{a^2}} \over 4}}  = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)

Mặt khác, vì H là trọng tâm của ∆ABC nên:

\(OH = {1 \over 3}AO = {1 \over 3}.{{a\sqrt 3 } \over 2} = {{a\sqrt 3 } \over 6}\)

Nhận thấy: \({{a\sqrt 3 } \over 6} < {a \over 2},\) do đó điểm H nằm trong đường tròn \(\left( {O,{a \over 2}} \right);\)

Và \({{a\sqrt 3 } \over 2} > {a \over 2},\) do đó điểm A nằm ngoài đường tròn \(\left( {O;{a \over 2}} \right).\)