Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Bài 3 - Chương 1 - Hình học 8.

Đề bài

Tam giác ABC  cân tại A, M là điểm bất kì nằm giữa hai điểm A và B. Trên tia đối của tia CA lấy N sao cho CN = BM. Vẽ ME và NF lần lượt vuông góc với đường thẳng BC. Gọi I là giao điểm của MN và BC.

a) Chứng minh IE = IF. 

b) Trên cạnh AC lấy D sao cho CD = CN. Chứng minh BMDC là hình thang cân.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat B = \widehat C\) (do tam giác ABC cân tại A) mà \(\widehat C = \widehat {NCF}\) (đối đỉnh)

Suy ra \(\widehat B = \widehat {NCF}\) 

Xét \(\Delta MEB\) và \(\Delta NFC\) có:

+) BM=CN (gt)

+) \(\widehat B = \widehat {NCF}\) 

Do đó \(\Delta MEB = \Delta NFC\) (cạnh huyền – góc nhọn) \( \Rightarrow ME = NF\)

Lại có \(ME// NF\) (cùng vuông góc với BC)

\( \Rightarrow \widehat {EMI} = \widehat {FNI}\) (so le trong)

Xét  \(\Delta IME\) và \(\Delta INF\) có:

+) \(\widehat {EMI} = \widehat {FNI}\) (cmt)

+) ME=NF (cmt)

+) \(\widehat {MEI} = \widehat {NFI}=90^0\)

Từ đó \(\Delta IME = \Delta INF(g.c.g) \Rightarrow IE = IF\)

b) Ta có CD = CN mà CN = BM (gt) 

\( \Rightarrow BM = CD\) mà \(AB = AC\)

\( \Rightarrow AB - BM = AC - CD\) hay AM = AD

\( \Rightarrow \Delta AMD\) cân tại A nên: \(\widehat {AMD} = \widehat {ADM} = \dfrac{{{{180}^ \circ } - \widehat A}}{2}\)

Mặt khác \(\Delta ABC\) cân tại A \( \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {ACB} =\dfrac {{{{180}^ \circ } - \widehat A} }{2}\)

Do đó \(\widehat {AMD} = \widehat {ABC} \Rightarrow MD//BC\) hay BMDC là hình thang có \(\widehat B = \widehat C\) 

Suy ra BMDC là hình thang cân.