Từ một điểm P nằm ngoài đường tròn (O; R), kẻ hai tiếp tuyến PA, PB đến (O) ( A, B là hai tiếp điểm). Trên dây AB lấy M bất kì. Qua M kẻ đường vuông góc với OM cắt PA tại S và PB tại Q. Chứng minh rằng: \(MS = MQ\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

+Tính chất tiếp tuyến

+Hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau

+Hai góc cùng bù 1 góc thì bằng nhau

Ta chứng minh: OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác trong tam giác OPQ nên OPQ là tam giác cân.

Lời giải chi tiết

Ta có \(PA \bot OA\) hay \(SA \bot OA\) ( tính chất tiếp tuyến)

\(\Rightarrow \widehat {SAO} = 90^\circ \) nên A thuộc đường tròn đường kính SO.

\(OM \bot SQ\) (gt) \(\Rightarrow \widehat {SMO} = 90^\circ \) nên M thuộc đường tròn đường kính SO.

Suy ra 4 điểm S, A, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính SO.

Xét đường tròn đường kính SO có \(\widehat {SAM} = \widehat {SOM}\) (1) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung SM)

Xét tứ giác MOQB có \(\widehat {MOQ} = \widehat {OBQ} = {90^0}\) nên M và B là 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh OQ dưới 1 góc vuông nên tứ giác MOQB là tứ giác nội tiếp.

Suy ra \(\widehat {MOQ} = \widehat {PBA}\) (2) (cùng bù với góc MBQ)

Lại có PA=PB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau) nên tam giác PAB cân tại P.

Suy ra \(\widehat {PAB} = \widehat {PBA}\) (3) (tính chất tam giác cân)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {POM} = \widehat {MOQ}\) hay OM là tia phân giác góc POQ.

Như vậy OM vừa là đường cao, vừa là đường phân giác trong tam giác OPQ nên OPQ là tam giác cân.

Từ đó OM cũng là đường trung tuyến của tam giác OPQ nên suy ra MP=MQ (đpcm).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Chương 3 - Hình học 9

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024