Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 3 - Bài 6 - Chương 1 - Hình học 8.

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy M bất kì thuộc cạnh BC, kẻ \(MD \bot AB,ME \bot AC.\) Gọi \(D'\) là điểm đối xứng của D qua BC. 

a) Chứng minh ba điểm E, M, \(D'\) thẳng hàng.

b) Kẻ \(BF \bot AC.\) Chứng minh \(ED' = BF.\)

Lời giải chi tiết

a) D' đối xứng với D qua BC \( \Rightarrow DD' \bot BC\) và \(ID' = ID\) (I là giao điểm của \(DD'\) và \(BC\)

Suy ra tam giác MDD' có MI vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao

\( \Rightarrow \Delta DMD'\) cân tại M, do đó đường cao MI đồng thời là phân giác: \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\) , mà \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_3}}\) (cùng phụ với \(\widehat B = \widehat C\) ) \( \Rightarrow \widehat {{M_2}} = \widehat {{M_3}}\) mà \(\widehat {{M_3}} + \widehat {EMB} = {180^ \circ }\)

\( \Rightarrow \widehat {{M_2}} + \widehat {EMB} = {180^ \circ }\) chứng tỏ \(E,M,D'\) thẳng hàng.

b) Vì tam giác MDD' cân tại M nên \(MD=MD'\)

Xét  \(\Delta BDM\) và  \(\Delta BD’M\) có:

\(MD=MD'\) (cmt)

\(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\) (cmt)

Cạnh MB chung

Suy ra \(\Delta BDM = \Delta BD’M\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {BD’M} = \widehat {BDM} = {90^ \circ }\) hay \(D’B \bot D’E \Rightarrow D’B//EF.\)

Lại có \(BF// D’E\left( { \bot AC} \right)\) nên \(BFED’\) là hình thang có hai cạnh bên song song \( \Rightarrow ED’= BF.\)