Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 6 - Bài 6 - Chương 4 - Đại số 9

Bài 1: Cho phương trình \({x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0\)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

b) Với điều kiện m tìm được ở câu a), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = {x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2}.\)

Bài 2: Cho phương trình \({x^2} - 2mx - 1 = 0.\) Tìm m để \(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 7,\) ở đó \(x_1;x_2\) là hai nghiệm của phương trình.

Phương pháp giải:

a.Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \)

b.Biến đổi A đưa về tổng và tích 2 nghiệm, thế hệ thức vi-et vào A rồi biện luận tìm GTNN của A

Lời giải chi tiết:

Bài 1:

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' > 0 \Leftrightarrow m - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1.\)

b) Với \(m > 1\), phương trình có hai nghiệm \(x_1;x_2\).

Theo định lí Vi-ét, ta có : \(\left\{ \matrix{  {x_1} + {x_2} = 2m \hfill \cr  {x_1}{x_2} = {m^2} - m + 1 \hfill \cr}  \right.\)

Khi đó \(A = {x_1}{x_2} - {x_1} - {x_2} \)\(\;= {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) \)\(\;= {m^2} - 3m + 1 \)\(\;= {\left( {m - {3 \over 2}} \right)^2} - {5 \over 4} \ge  - {5 \over 4}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng \( - {5 \over 4}.\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow m - {3 \over 2} = 0 \Leftrightarrow m = {3 \over 2}.\)

Phương pháp giải:

Chứng minh tích a.c<0

Sử dụng hệ thức vi-ét để tìm tổng và tích hai nghiệm  

\({x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a};{x_1}.{x_2} = \frac{c}{a}\)

Thế vào A ta tìm được m

Lời giải chi tiết:

Bài 2: Vì \(a = 1; c = − 1   \Rightarrow  ac < 0\), nên phương trình luôn luôn có hai nghiệm. Theo định lí Vi-ét, ta có : \({x_1} + {x_2} = 2m;\,\,\,\,{x_1}{x_2} =  - 1\)

Vậy : \(x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2} = 7 \)

\(\Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2} = 7\)

\( \Leftrightarrow 4{m^2} + 3 = 7\)

\(\Leftrightarrow 4{m^2} = 4 \Leftrightarrow m =  \pm 1.\)