Đề kiểm tra 15 phút - Đề số 7 - Bài 11 - Chương 1 - Hình học 8.

Đề bài

Cho hình chữ nhật ABCD; P, Q lần lượt là trung điểm của BC và AD. Gọi M  là giao điểm của AP và BQ, N là giao điểm của CQ và DP. Chứng minh: Tứ giác MPNQ là hình thoi.

Lời giải chi tiết

Vì ABCD là hình chữ nhật nên \(AD=BC,AB=CD\) và \(AD//BC,AB//CD\)

Ta có Q, P lần lượt là trung điểm của AD và BC nên AQ = QD = BP = PC và \(AQ// CP,\;DQ//BP.\)

Do đó tứ giác sau là các hình bình hành APCQ, BPDQ \(\Rightarrow AP// CQ\) và \(BQ//DP\)

\( \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành

Mặt khác tứ giác ABPQ có AQ//BP, AQ=BP nên ABPQ là hình bình hành. Lại có góc A bằng \(90^0\) (do ABCD là hình chữ nhật) nên ABPQ là hình chữ nhật. 

\( \Rightarrow MQ = MP\) (tính chất hai đường chéo hình chữ nhật)

Vậy MPNQ là hình thoi (hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau).