Đề kiểm tra 45 phút (1 tiết) - Đề số 9 - Chương 2 - Hình học 9

Đề bài

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi S là trung điểm của OA. Vẽ đường tròn tâm S đi qua A.

a. Chứng minh (O) và (S) tiếp xúc tại A.

b. Một đường thẳng đi qua A cắt (S) tại M và cắt (O) tại N (M, N khác A). Chứng minh : SM // ON

c. Chứng minh : OM // BN

d. Gọi I là trung điểm của ON, đường thẳng AI cắt BN tại K. Chứng minh: \(BK = 2NK\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

a. So sánh hiệu hai bán kính và đường nối tâm

b. Chỉ ra 1 cặp góc đồng vị bằng nhau

c.Chứng minh chúng cùng vuông góc với AN

d.Dựa vào tính chất đường trung bình của tam giác OEN và AKB

Lời giải chi tiết

a. Ta có: \(OS = OA – SA (d = R – R’)\)

Vậy (O) và (S) tiếp xúc trong tại A.

b. ∆ASM cân (\(SA = SM = R’\))

\( \Rightarrow {\widehat M_1} = \widehat {MAS}\)

Tương tự ∆AON cân

\(\eqalign{  &  \Rightarrow {\widehat N_1} = \widehat {MAS}  \cr  &  \Rightarrow {\widehat M_1} = {\widehat N_1} \cr} \)

Do đó SM // ON (đồng vị ).

c. Dễ thấy \(\widehat {AMO} = \widehat {ANB} = 90^\circ \) (góc chắn nửa đường tròn)

\(⇒ OM // BN (⊥ AN)\)

d. Kẻ OE // IK, ta có IK là đường trung bình của ∆ONE \(⇒ K\) là trung điểm của NE hay \(KN = KE.\)

Mặt khác trong ∆AKB ta có: OE là đường trung bình nên E là trung điểm của KB hay \(EK = EB\). Vậy \(BK = 2NK.\)

Cách khác : Gọi H là giao điểm của MO và AK, ta có: \(∆OIH = ∆NIK\) (g.c.g)

\(⇒ NK = OH\). Có O là trung điểm của AB, OH // BN (cmt)

\(⇒\) OH là đường trung bình của ∆AKB

\( \Rightarrow OH = {1 \over 2}KB\) hay \(2OH = BK\), mà \(OH = NK ⇒ 2NK = BK.\)