1. Đề thi vào 10 môn Toán Hà Nội năm 2021

Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
Đề bài
Lời giải chi tiết
Lựa chọn câu hỏi để xem giải nhanh hơn
Đề bài
Lời giải chi tiết

Đề bài

Bài I (2 điểm):

Cho hai biểu thức với .

1) Tính giá trị của biểu thức khi .                    

2) Chứng minh

Bài II (2,5 điểm):

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết thời hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau).

2) Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao 1,6m và bán kính đáy 0,5m. Người ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tính diện tích bề mặt được sơn của thùng nước (lấy ).

Bài III (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2) Trong mặt phẳng tọa độ , cho Parabol và đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị của để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho .

Bài IV (3,5 điểm)

Cho tam giác vuông tại . Vẽ đường tròn tâm , bán kính . Từ điểm kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( là tiếp điểm, nằm khác phía nhau đối với đường thẳng ).

1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

2) Lấy điểm thuộc đoạn thẳng ( khác , khác ). Lấy điểm thuộc tia đối của sao cho . Chứng minh tam giác là tam giác cân và đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng

Bài V (0,5 điểm)

Với các số thực thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Lời giải chi tiết

Bài I

Cho hai biểu thức với .

1) Tính giá trị của biểu thức khi .

2) Chứng minh .

Phương pháp:

1) Thay giá trị vào biểu thức rồi tính giá trị của biểu thức.

2) Quy đồng, biến đổi và rút gọn biểu thức

Từ đó chứng minh được giá trị của

Cách giải:

1) Điều kiện:

Thay (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức ta có: 

.

Vậy khi thì .

2) Điều kiện:

Vậy (với ).

Bài II

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

Một tổ sản xuất phải làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế trong một số ngày quy định. Thực tế, mỗi ngày tổ đã làm được nhiều hơn 100 bộ đồ bảo hộ y tế so với bộ đồ bảo hộ y tế phải làm trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế 8 ngày trước khi hết thời hạn, tổ sản xuất đã làm xong 4800 bộ đồ bảo hộ y tế đó. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bao nhiêu bộ đồ bảo hộ y tế? (Giả định rằng số bộ đồ bảo hộ y tế mà tổ đó làm xong trong mỗi ngày là bằng nhau).

2) Một thùng nước có dạng hình trụ với chiều cao 1,6m và bán kính đáy 0,5m. Người ta sơn toàn bộ phía ngoài mặt xung quanh mặt xung quanh của thùng nước này (trừ hai mặt đáy). Tính diện tích bề mặt được sơn của thùng nước (lấy ).

 

Phương pháp:

1) Gọi số bộ đồ bảo hộ y tế tổ sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch là (bộ),

Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo các đại lượng đã biết và ẩn vừa gọi.

Dựa vào giả thiết bài cho để lập phương trình.

Giải phương trình tìm ẩn và đối chiếu với điều kiện xác định.

Kết luận.

2) Sử dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao và bán kính :

Cách giải:

1) Gọi số bộ đồ bảo hộ y tế tổ sản xuất phải làm trong một ngày theo kế hoạch là (bộ),

Thời gian theo kế hoạch tổ sản xuất làm xong bộ đồ là: (ngày).

Thực tế mỗi ngày, tổ đó làm được số bộ đồ bảo hộ y tế là: (bộ).

Thời gian thực tế tổ sản xuất làm xong bộ đồ là: (ngày).

Theo đề bài, tổ sản xuất đã làm xong bộ đồ trước ngày so với kế hoạch nên ta có phương trình:

Phương trình có:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Vậy theo kế hoạch, mỗi ngày tổ sản xuất phải làm bộ đồ bảo hộ y tế.

2) Thùng nước hình trụ có chiều cao và bán kính đáy .

Diện tích bề mặt được sơn của thùng nước là:

Vậy diện tích bề mặt được sơn của thùng nước là .

Bài III

1) Giải hệ phương trình

2) Trong mặt phẳng tọa độ , cho Parabol và đường thẳng . Tìm tất cả các giá trị của để cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho .

 

Phương pháp:

1) Đặt , hệ phương trình trở thành , sau đó sử dụng phương pháp cộng đại số để tìm ra sau đó tìm ra nghiệm của phương trình ban đầu.

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của , tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt, sử dụng ứng dụng của định lí Vi – ét và điều kiện giả thiết của đề bài để tìm được các giá trị của .

Cách giải:

1) ĐKXĐ: .

Đặt , hệ phương trình trở thành .

Ta có .

Với .

Vậy hệ phương trình có nghiệm .

2) Xét phương trình hoành độ giao điểm của :

cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt .

.

Khi đó theo định lí Vi-ét ta có:

Theo giả thiết:

 

Vậy .

Bài IV

Cho tam giác vuông tại . Vẽ đường tròn tâm , bán kính . Từ điểm kẻ tiếp tuyến với đường tròn ( là tiếp điểm, nằm khác phía nhau đối với đường thẳng ).

1) Chứng minh bốn điểm cùng thuộc một đường tròn.

2) Lấy điểm thuộc đoạn thẳng ( khác , khác ). Lấy điểm thuộc tia đối của sao cho . Chứng minh tam giác là tam giác cân và đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng

Phương pháp:

1) Chứng minh tứ giác nội tiếp một đường tròn suy ra bốn điểm cùng thuộc một đường tròn

2) Chứng minh (2 cạnh tương ứng bằng nhau). cân tại . (đpcm).

Chứng minh là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của là trung điểm của

Cách giải:

 

1) Ta có: tam giác vuông tại nên

là tiếp tuyến của đường tròn nên (định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn)

Xét tứ giác ta có:

là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng ).

Hay bốn điểm cùng thuộc một đường trònbốn điểm cùng thuộc một đường tròn. (đpcm).

2) Xét tam giác và tam giác có:

( cùng thuộc đường tròn )

(2 cạnh tương ứng bằng nhau).

cân tại . (đpcm).

Gọi là giao điểm của .

nên:

(2 góc tương ứng bằng nhau)

là hai tam giác cân đỉnh

(các góc ở đáy của các tam giác cân có góc ở đỉnh bằng nhau)

Hay

là tứ giác nội tiếp. (tứ giác có hai đỉnh kề 1 cạnh cùng nhìn cạnh đối diện dưới các góc bằng nhau).

cân tại (cmt)

là đường cao, đồng thời là đường trung tuyến của

là trung điểm của

Vậy đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng (đpcm).

Bài V

Với các số thực thỏa mãn , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Phương pháp:

Kết hợp với giả thiết biến đổi biểu thức trở thành 

Sau đó áp dụng Áp dụng BĐT Bunhiacopxki để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ban đầu

Cách giải:

Ta có .

Khi đó ta có: .

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: .

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng , đạt được khi .

Fqa.vn
Bình chọn:
0/5 (0 đánh giá)
Báo cáo nội dung câu hỏi
Bình luận (0)
Bạn cần đăng nhập để bình luận
Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?
logo footer
FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
app store ch play
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved
gift-box
survey
survey
Đặt câu hỏi