Câu hỏi 1 - Mục Bài tập trang 127

1. Nội dung câu hỏi

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD//BC, \(AD = 2BC\). Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD.

a) Chứng minh (BEF)//(SCD) và CI//(BEF).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).

c) Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến vừa tìm được ở câu b, từ đó chứng minh (SBF)//(KCD).

3. Lời giải chi tiết 

a) Vì E, F lần lượt là trung điểm của SA và AD nên EF là đường trung bình của tam giác SAD, suy ra EF//SD.

Mà \(SD \subset \left( {SCD} \right)\), EF không nằm trong mặt phẳng (SCD) nên EF//(SCD).

Vì F là trung điểm của AD nên \(AF = FD = \frac{1}{2}AD\), mà \(AD = 2BC\) nên \(BC = AF = FD\)

Lại có, BC//AD hay BC//DF.

Do đó, tứ giác BFDC là hình bình hành nên BF//CD.

Mà \(CD \subset \left( {SCD} \right)\), BF không nằm trong mặt phẳng (SCD) nên BF//(SCD).

Vì EF//(SCD), BF//(SCD), EF và BF cắt nhau tại F và nằm trong mặt phẳng (BEF)

Do đó, (BEF)//(SCD).

Vì E, I lần lượt là trung điểm của SA, SD nên EI là đường trung bình của tam giác SAD, do đó, EI//AD và \(EI = \frac{1}{2}AD\)

Mà AD//BC, \(BC = \frac{1}{2}AD\) nên EI//BC và \(EI = BC\). Do đó, tứ giác EICB là hình bình hành nên CI//BE

Mà \(BE \subset \left( {BEF} \right)\), CI không nằm trong mặt phẳng (BEF) nên CI//(BEF).

b) Ta có: BC//AD, \(BC \subset \left( {SBC} \right),AD \subset \left( {SAD} \right)\), mà \(S = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)\).

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng d đi qua S và song song song với BC, AD.

c) Vì \(d \subset \left( {SAD} \right),FI \subset \left( {SAD} \right)\) nên trong mặt phẳng (SAD), gọi K là giao điểm của FI và d.

Vì I, F lần lượt là trung điểm của SD, AD nên IF là đường trung bình của tam giác SAD. Do đó, IF//SA hay KF//SA

Mà SK//AF nên SKFA là hình bình hành. Do đó, \(SK = AF\)

Mà \(FD = AF\) nên \(SK = FD\)

Tứ giác SKDF có: \(SK = FD\), SK//DF nên SKDF là hình bình hành. Suy ra, SF//KD.

Vì SF//KD, \(KD \subset \left( {KCD} \right)\), SF không nằm trong mặt phẳng (KCD) nên SF//(KCD).

Vì BF//CD, \(CD \subset \left( {KCD} \right)\), BF không nằm trong mặt phẳng (KCD) nên BF//(KCD).

Lại có: SF và BF cắt nhau tại F và nằm trong mặt phẳng (SBF) nên (SBF)//(KCD).