Bài 1 trang 195 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

(Xem hình 1). Tính:

a) \(h,b\) và \(c,\) biết \(b'=25,c'=16;\)

b)  \(a,c\) và \(c'\), biết \(b=12,b'=6;\)

c) \(a,b\) và \(b',\) biết \(c=8,c'=4;\)

d) \(h,b,c',b',\) biết \(c=6,a=9.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), đường cao \(AH\). Khi đó ta có các hệ thức sau:

+) \(A{B^2} = BH.BC\) hay \({c^2} = a.c'\) 

+) \(A{C^2} = CH.BC\) hay \({b^2} = ab'\)

+) \(AH ^2= HB.HC\) hay \(h ^2= c'.b'\)

+) \(\dfrac{1}{{A{H^2}}} = \dfrac{1}{{A{B^2}}} + \dfrac{1}{{A{C^2}}}\) hay \(\dfrac{1}{{{h^2}}} = \dfrac{1}{{{b^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\)

+) \(AB^2+AC^2=BC^2\) hay \(c^2+b^2=a^2\) (định lý Pytago)

Lời giải chi tiết

a) \(a=b'+c'=25+16=41\)

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\begin{array}{l}
{h^2} = b'c' = 25.16 = 400\\
\Rightarrow h = \sqrt {400} = 20\\
{b^2} = a.b' = 41.25 = 1025\\
\Rightarrow b = \sqrt {1025} = 5\sqrt {41} \\
{c^2} = a.c' = 41.16 = 656\\
\Rightarrow c = \sqrt {656} = 4\sqrt {41} 
\end{array}\)

b) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\begin{array}{l}
{b^2} = a.b' \Rightarrow a = \dfrac{{{b^2}}}{{b'}} = \dfrac{{{{12}^2}}}{6} = 24\\
c' = a - b' = 24 - 6 = 18\\
{c^2} = a.c' = 24.18 = 432\\
c = \sqrt {432} = 12\sqrt 3 
\end{array}\)

c) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\begin{array}{l}
{c^2} = a.c' \Rightarrow a = \dfrac{{{c^2}}}{{c'}} = \dfrac{{{8^2}}}{4} = 16\\
b' = a - c' = 16 - 4 = 12\\
{b^2} = a.b' = 16.12 = 192\\
\Rightarrow b = \sqrt {192} = 8\sqrt 3 
\end{array}\)

d) Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), ta có:

\(\begin{array}{l}
{c^2} = a.c' \Rightarrow c' = \dfrac{{{c^2}}}{a} = \dfrac{{{6^2}}}{9} = 4\\
b' = a - c' = 9 - 4 = 5\\
{h^2} = b'.c' = 5.4 = 20\\
\Rightarrow h = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \\
{b^2} = a.b' = 9.5 = 45\\
\Rightarrow b = \sqrt {45} = 3\sqrt 5 
\end{array}\)