Câu hỏi 1 - Mục Bài tập trang 68

1. Nội dung câu hỏi

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBC) theo a, biết \(SA = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\).

3. Lời giải chi tiết 

Gọi E là trung điểm của BC. Vì tam giác ABC đều nên AE là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(AE \bot BC\)

Ta có: \(SA \bot \left( {ABC} \right),BC \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot BC\), mà \(AE \bot BC\).  Suy ra: \(BC \bot \left( {SAE} \right)\)

Kẻ \(AF \bot SE\left( {S \in SE} \right)\). Vì \(BC \bot \left( {SAE} \right)\)\( \Rightarrow BC \bot AF\)

Ta có: \(BC \bot AF,AF \bot SE,\) BC và SE cắt nhau tại E và nằm trong mặt phẳng (SBC) nên \(AF \bot \left( {SBC} \right)\). Khi đó, AF là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).

Vì tam giác ABC đều nên \(\widehat {ABC} = {60^0}\).

Tam giác ABE vuông tại E có: \(AE = AB.\sin \widehat {ABC} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right),AE \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AE\)

Tam giác AES vuông tại A, có AF là đường cao nên:

\(\frac{1}{{A{F^2}}} = \frac{1}{{A{E^2}}} + \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{4}{{3{a^2}}} + \frac{4}{{6{a^2}}} = \frac{2}{{{a^2}}} \Rightarrow AF = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).