Bài 10 trang 170 SBT hình học 12

Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho S(0; 0; 2), A(0; 0; 0), B(1; 2; 0), C(0; 2; 0)

a) Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với SB;

b) Tìm tọa độ của các điểm B' là gia của (P) với đường thẳng SB, C' là giao của (P) với đường thẳng SC;

c) Tính thể tích tứ diện SAB'C';

d) Tìm điểm đối xứng với B qua mặt phẳng (P);

e) Chứng minh các điểm A, B, C, B', C' cùng thuộc một mặt cầu. Viết phương trình của mặt cầu đó và phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu đó tại C'.

Lời giải chi tiết

a) →SB=(1;2;−2)$\overrightarrow{SB}=\left(1;2;-2\right)$

Phương trình (P) đi qua A và nhận →SB$\overrightarrow{SB}$ làm VTPT là:

x + 2y - 2z = 0.

b) Phương trình đường thẳng SB: {x=ty=2tz=2−2t$\{\begin{array}{c}x=t\\ y=2t\\ z=2-2t\end{array}$.

Để tìm B' ta giải hệ {x+2y−2z=0x=ty=2tz=2−2t$\{\begin{array}{c}x+2y-2z=0\\ x=t\\ y=2t\\ z=2-2t\end{array}$

⇒t+2.2t−2(2−2t)=0$\Rightarrow t+2.2t-2\left(2-2t\right)=0$ ⇔9t−4=0⇔t=49$\iff 9t-4=0\iff t=\frac{4}{9}$

⇒B′(49;89;109)$\Rightarrow B^{\prime }\left(\frac{4}{9};\frac{8}{9};\frac{10}{9}\right)$

Tương tự, C'(0; 1; 1)

c)

→C′B′=(49;−19;19)$\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}=\left(\frac{4}{9};-\frac{1}{9};\frac{1}{9}\right)$, →AC′=(0;1;1)$\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\left(0;1;1\right)$

⇒→C′B′.→AC′=0$\Rightarrow \overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}.\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=0$ ⇒C′B′⊥AC′$\Rightarrow C^{\prime }{B}^{\prime }\perp A{C}^{\prime }$

⇒SAB′C′=12AC′.C′B′$\Rightarrow S_{A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}A{C}^{\prime }.C^{\prime }{B}^{\prime }$ =12.√2.√16+1+181=13$=\frac{1}{2}.\sqrt{2}.\sqrt{\frac{16+1+1}{81}}=\frac{1}{3}$

Mà SB′=√SA2−AB′2$S{B}^{\prime }=\sqrt{S{A}^2-AB{}^{\prime 2}}$ =√4−209=43$=\sqrt{4-\frac{20}{9}}=\frac{4}{3}$

Vậy VS.AB′C′=427$V_{S.A{B}^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{4}{27}$.

d) Đường thẳng qua B và vuông góc với (P) có phương trình: {x=1+ty=2+2tz=−2t$\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=-2t\end{array}$

Để tìm giao điểm B_o của đường thẳng này với (P) ta giải hệ

{x=1+ty=2+2tz=−2tx+2y−2z=0$\{\begin{array}{c}x=1+t\\ y=2+2t\\ z=-2t\\ x+2y-2z=0\end{array}$⇒1+t+2(2+2t)−2(−2t)=0$\Rightarrow 1+t+2\left(2+2t\right)-2\left(-2t\right)=0$  ⇔9t+5=0⇔t=−59$\iff 9t+5=0\iff t=-\frac{5}{9}$

⇒B0(49;89;109)$\Rightarrow B_0\left(\frac{4}{9};\frac{8}{9};\frac{10}{9}\right)$

Từ đó suy ra điểm đối xứng với B qua (P) là B1(−19;−29;209)$B_1\left(-\frac{1}{9};-\frac{2}{9};\frac{20}{9}\right)$

e) Dễ thấy →BC⊥→AC,→BC′⊥→AC′,→BB′⊥→AB′$\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{AC},\overrightarrow{B{C}^{\prime }}\perp \overrightarrow{A{C}^{\prime }},\overrightarrow{B{B}^{\prime }}\perp \overrightarrow{A{B}^{\prime }}$ nên A, B, C, B', C' cùng thuộc mặt cầu tâm I(1/2; 1; 0) là trung điểm của AB, bán kính IA = (√5) /2

Phương trình mặt cầu đó là (x−12)2+(y−1)2+z2=54${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+z^2=\frac{5}{4}$

Vì điểm C' thuộc mặt cầu, nên mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại C' phải vuông góc với →IC′=(−12;0;1)$\overrightarrow{I{C}^{\prime }}=\left(-\frac{1}{2};0;1\right)$

Phương trình của mặt phẳng đó là: x - 2(z - 1) = 0 hay x - 2z + 2 = 0.