Đề bài
Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/ năm. Hết năm đầu, cô Hạnh không rút tiền ra và gửi thêm A (đồng) nữa. Hết năm thứ hai, cô Hạnh cũng không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa. Cứ tiếp tục như vậy cho những năm sau. Chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là \({T_n} = \frac{{A(100 + r)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^n} - 1} \right]\) (đồng), nếu trong khoảng thời gian này lãi suất không đổi.
Lời giải chi tiết
Ta chứng minh “Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là \({T_n} = \frac{{A(100 + r)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^n} - 1} \right]\) (đồng)” bằng phương pháp quy nạp.
Bước 1: Khi \(n = 1\) ta có
Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau 1 năm là: \(A + r\% .A = A.\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right) = \frac{{A(100 + r)}}{{100}}\)(đồng)
Và \({T_1} = \frac{{A(100 + r)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^1} - 1} \right] = \frac{{A(100 + r)}}{r}.\frac{r}{{100}} = \frac{{A(100 + r)}}{{100}}\)(đồng)
Như vậy mệnh đề đúng với \(n = 1\)
Bước 2: Với k là một số nguyên dương tùy ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề đúng với k+1, tức là:
“Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau \(k + 1\) năm là: \({T_{k + 1}} = \frac{{A(100 + r)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^{k + 1}} - 1} \right]\) (đồng)”
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau \(k\) năm là: \({T_k} = \frac{{A(100 + r)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^k} - 1} \right]\) (đồng)
Cô không rút ra mà gửi thêm A đồng nữa
=> Số tiền gốc sau \(k + 1\) năm là: \({T_k} + A\)(đồng)
=> Số tiền lãi sau \(k + 1\) năm là: \(\left( {{T_k} + A} \right).r\% \)(đồng)
Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau \(k + 1\) năm là:
\(\begin{array}{l}{T_k} + A + \left( {{T_k} + A} \right).r\% = \left( {{T_k} + A} \right).(1 + r\% ) = \left( {{T_k} + A} \right)\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)\\ = \left\{ {\frac{{A(100 + r)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^k} - 1} \right] + A} \right\}.\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)\\ = \frac{{A(100 + r)}}{r}\left[ {{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^k} - 1} \right].\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right) + A.\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)\\ = \frac{{A(100 + r)}}{r}.\left[ {{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^{k + 1}} - \left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)} \right] + A.\left( {\frac{{100 + r}}{{100}}} \right)\\ = \frac{{A(100 + r)}}{r}.\left[ {{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^{k + 1}} - \left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)} \right] + A.\left( {\frac{{100 + r}}{r}} \right).\frac{r}{{100}}\\ = \frac{{A(100 + r)}}{r}.\left[ {{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^{k + 1}} - \left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right) + \frac{r}{{100}}} \right]\\ = \frac{{A(100 + r)}}{r}.\left[ {{{\left( {1 + \frac{r}{{100}}} \right)}^{k + 1}} - 1} \right]\end{array}\)
Vậy mệnh đề đúng với k+1. Do đó, theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đúng với mọi \(n \in \mathbb{N}*\).
Chủ đề 7: Hệ thống chính trị nước cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam
Bình Ngô đại cáo
Chương 2. Bảng tuần hoàn các nguyên tố hóa học và định luật tuần hoàn
Chương 3. Chuyển động biến đổi
Soạn Văn 10 Kết nối tri thức tập 1 - siêu ngắn
SGK Toán - Kết nối tri thức Lớp 10
SGK Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 10
SGK Toán - Cánh diều Lớp 10
SBT Toán - Kết nối tri thức Lớp 10
SBT Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 10
SBT Toán - Cánh Diều Lớp 10
Chuyên đề học tập Toán - Kết nối tri thức Lớp 10
Chuyên đề học tập Toán - Chân trời sáng tạo Lớp 10
Lý thuyết Toán Lớp 10
Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 10 - Kết nối tri thức
Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 10 - Chân trời sáng tạo
Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 10 - Cánh diều
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 10