Bài 100 trang 92 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình bình hành \(ABCD,\) \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Qua \(O,\) vẽ đường thẳng cắt hai cạnh \(AB,\) \(CD\) ở \(E, F.\) Qua \(O\) vẽ đường thẳng cắt hai cạnh \(AD, BC\) ở \(G, H.\) Chứng minh rằng \(EGFH\) là hình bình hành.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

Xét \(∆ OAE\) và \(∆ OCF:\)

\(OA = OC\) (tính chất hình bình hành)

\(\widehat {AOE} = \widehat {COF}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {OAE} = \widehat {OCF}\) (so le trong)

Do đó: \(∆ OAE = ∆ OCF\;\; (g.c.g)\)

\(⇒ OE = OF \;\;(1)\)

Xét \(∆ OAG\) và \(∆ OCH:\)

\(OA = OC\) (tính chất hình bình hành)

\(\widehat {AOG} = \widehat {COH}\) (đối đỉnh)

\(\widehat {OAG} = \widehat {OCH}\) (so le trong)

Do đó: \(∆ OAG = ∆ OCH \;\;(g.c.g)\)

\(⇒ OG = OH \;\;(2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: Tứ giác \(EGFH\) là hình bình hành ( vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)