Bài 104 trang 93 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho góc \(xOy\) và điểm \(A\) nằm trong góc đó.

\(a)\) Vẽ điểm \(B\) đối xứng với \(O\) qua \(A.\) Qua \(B\) kẻ đường thẳng song song với \(Ox,\) cắt \(Oy\) ở \(C.\) Gọi \(D\) là giao điểm của \(CA\) và \(Ox.\) Chứng minh rằng các điểm \(C\) và \(D\) đối xứng với nhau qua điểm \(A.\)

\(b)\) Từ đó suy ra cách dựng đường thẳng đi qua \(A,\) cắt \(Ox,\) \(Oy\) ở \(D,\) \(C\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(CD.\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.

Bài toán dựng hình

+) Cách dựng: Nêu thứ tự từng bước dựng hình, đồng thời thể hiện các nét dựng trên hình vẽ.

+) Chứng minh: Bằng lập luận để chứng tỏ rằng với cách dựng trên, hình đã dựng thỏa mãn các điều kiện của đề bài nêu ra.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Xét \(∆ OAD\) và \(∆ BAC:\)

\(OA = AB\) (tính chất đối xứng tâm)

\({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (đối đỉnh)

\({\widehat O_1} = {\widehat {CBO}}\) (so le trong)

Do đó: \(∆ OAD = ∆ BAC \;\;(g.c.g)\)

\(⇒ AD = AC\)

Suy ra: \(C\) đối xứng với \(D\) qua tâm \(A.\)

\(b)\) Cách dựng :

-  Dựng \(B\) đối xứng với \(O\) qua tâm \(A\)

-  Qua \(B\) dựng đường thẳng song song với \(Ox\) cắt \(Oy\) tại \(C.\)

-  Dựng tia \(CA\) cắt \(Ox\) tại \(D.\)

Ta có \(D\) là điểm cần dựng.

Chứng minh : như câu \(a)\)

Xét \(∆ OAD\) và \(∆ BAC:\)

\(OA = AB\) (tính chất đối xứng tâm)

\({\widehat A_1} = {\widehat A_2}\) (đối đỉnh)

\({\widehat O_1} = {\widehat {CBO}}\) (so le trong)

Do đó: \(∆ OAD = ∆ BAC \;\;(g.c.g)\)

\(⇒ AD = AC\)

Suy ra: \(C\) đối xứng với \(D\) qua tâm \(A.\)