Bài 105 trang 93 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC,\) điểm \(M\) nằm trên cạnh \(BC.\) Gọi \(O\) là trung điểm của \(AM.\) Dựng điểm \(E\) thuộc cạnh \(AB,\) điểm \(F\) thuộc cạnh \(AC\) sao cho \(E\) đối xứng với \(F\) qua \(O\)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành.

+) Trong hình bình hành, hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

+)  Hai điểm gọi là đối xứng với nhau qua \(O\) nếu \(O\) là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó

Lời giải chi tiết

Cách dựng:

-  Qua điểm \(M\) dựng đường thẳng song song với \(AC\) cắt \(AB\) tại \(E\)

-  Qua điểm \(M\) dựng đường thẳng song song với \(AB\) cắt \(AC\) tại \(F\)

Ta có \(E, F\) là hai điểm cần dựng.

Chứng minh :

\(ME // AC\) hay \(ME // AF\)

\(MF // AB\) hay \(MF // AE\)

Nên tứ giác \(AEMF\) là hình bình hành (theo định nghĩa)

Mà \(O\) là trung điểm của \(AM\)

Suy ra: \(EF\) đi qua \(O\) và \(O\) là trung điểm của \(EF\) (tính chất hình bình hành)

\(⇒ OE = OF\)

Vậy \(E\) đối xứng với \(F\) qua tâm \(O.\)