Bài 11 trang 197 SBT toán 9 tập 2

Đề bài

Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \((O;R)\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau. Chứng minh rằng \(A{B^2} + C{D^2} = 4{R^2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Trên một đường tròn hai dây song song chắn hai cung bằng nhau.

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.
 

- Định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết

Kẻ đường kính \(BB'\). Nối \(B'A,B'D,B'C\).

\( \widehat {B'DB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\( \Rightarrow DB' \bot BD\)

Mặt khác \(AC\bot BD\) (gt)

\( \Rightarrow DB'//AC\)

Vì \(AC//DB'\) nên  \(sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ}\)

\(sđ\overparen {ADB'} = sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} + sđ\overparen {DB'}_\text{nhỏ}\)

\(sđ\overparen {CB'D} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ} + sđ\overparen {DB'}_\text{nhỏ}\)

Mà  \(sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ}\)

\( \Rightarrow sđ\overparen {ADB'} = sđ\overparen {CB'D}\).

\( \Rightarrow AB' = CD\) (các dây cung chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau)    (1)

Ta có \(\widehat {BAB'} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BAB'\) có:

\(A{B^2} + AB{'^2} = BB{'^2}\)        (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(A{B^2} + C{D^2} = BB{'^2}\)

Hay \(A{B^2} + C{D^2} = 4{R^2}\).