Cho tứ giác \(ABCD\) nội tiếp đường tròn \((O;R)\) có hai đường chéo \(AC\) và \(BD\) vuông góc với nhau. Chứng minh rằng \(A{B^2} + C{D^2} = 4{R^2}\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng:

- Trên một đường tròn hai dây song song chắn hai cung bằng nhau.

- Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau.

- Định lí Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của các cạnh góc vuông.

Lời giải chi tiết

Kẻ đường kính \(BB'\). Nối \(B'A,B'D,B'C\).

\( \widehat {B'DB} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\( \Rightarrow DB' \bot BD\)

Mặt khác \(AC\bot BD\) (gt)

\( \Rightarrow DB'//AC\)

Vì \(AC//DB'\) nên \(sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ}\)

\(sđ\overparen {ADB'} = sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} + sđ\overparen {DB'}_\text{nhỏ}\)

\(sđ\overparen {CB'D} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ} + sđ\overparen {DB'}_\text{nhỏ}\)

Mà \(sđ\overparen {AD}_\text{nhỏ} = sđ\overparen {B'C}_\text{nhỏ}\)

\( \Rightarrow sđ\overparen {ADB'} = sđ\overparen {CB'D}\).

\( \Rightarrow AB' = CD\) (các dây cung chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau) (1)

Ta có \(\widehat {BAB'} = {90^o}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông \(BAB'\) có:

\(A{B^2} + AB{'^2} = BB{'^2}\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(A{B^2} + C{D^2} = BB{'^2}\)

Hay \(A{B^2} + C{D^2} = 4{R^2}\).

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024