Bài 1.12 trang 18 SBT hình học 12

Hãy tính thể tích khối chóp S.ADE

Phương pháp giải:

- Chứng minh SE⊥(ADE).

- Tính diện tích tam giác ADE và chiều cao SE.

- Tính thể tích khối chóp theo công thức $V=\frac{1}{3}Sℎ$.

Giải chi tiết:

Ta có $\{\begin{array}{c}BC\perp \mathrm{SA}\\ \mathrm{BC}\perp \mathrm{AB}\end{array}\Rightarrow \mathrm{BC}\perp \left(\mathrm{SAB}\right)$

Vì AD⊂(SAB) nên AD⊥BC

Mặt khác AD⊥SB nên AD⊥(SBC)

Từ đó suy ra AD⊥SC

$\{\begin{array}{c}\mathrm{SC}\perp \mathrm{AE}\\ \mathrm{SC}\perp \mathrm{AD}\end{array}$⇒SC⊥(ADE)⇒SC⊥DE hay SE⊥(ADE).

Trong tam giác vuông SAB ta có: SA.AB=AD.SB$\Rightarrow \mathrm{AD}=\frac{\mathrm{AB}.\mathrm{SA}}{SB}=\frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}$

Tương tự, trong tam giác vuông SAC ta có: $\mathrm{AE}=\frac{\mathrm{SA}.\mathrm{AC}}{SC}=\frac{c\sqrt{a^2+b^2}}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Do AD⊥(SBC)  nên AD⊥DE. Từ đó suy ra:

$\mathrm{DE}=\sqrt{\mathrm{AE}{ }^2-\mathrm{AD}{ }^2}$$=\sqrt{\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}-\frac{a^2{c}^2}{a^2+c^2}}$ $=\frac{c^{2}b}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2+c^2)}}$

2$SE=\sqrt{S{A}^2-AE{ }^2}$$=\sqrt{c^2-\frac{c^2(a^2+b^2)}{a^2+b^2+c^2}}$ $=\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

Vậy $V_{S.ADE}=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\mathrm{AD}.\mathrm{DE}.\mathrm{SE}$$=\frac{1}{6}\frac{ac}{\sqrt{a^2+c^2}}.\frac{c^{2}b}{\sqrt{(a^2+b^2+c^2)(a^2+c^2)}}.\frac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

=$\frac{{\mathrm{abc}}^5}{6(a^2+b^2+c^2)(a^2+c^2)}$

Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB).

Phương pháp giải:

- Tính diện tích tam giác SAD.

- Sử dụng công thức $V_{S.ADE}=\frac{1}{3}\mathrm{d}.{\mathrm{S}}_{\mathrm{SAD}}$ và kết quả câu a để suy ra d.

Giải chi tiết:

Gọi d là khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)

Ta có$\mathrm{SD}=\sqrt{{\mathrm{SA}}^{2^{ }}-\mathrm{AD}{ }^2}$$=\sqrt{{\mathrm{c}}^2-\frac{{\mathrm{a}}^2{\mathrm{c}}^2}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2}}=\frac{{\mathrm{c}}^2}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2}}$

$V_{\mathrm{S}.\mathrm{ADE}}={\mathrm{V}}_{\mathrm{E}.\mathrm{SAD}}$$=\frac{1}{3}.\frac{1}{2}\mathrm{SD}.\mathrm{AD}.\mathrm{d}$ $=\frac{1}{6}.\frac{{\mathrm{c}}^2}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2}}.\frac{ac}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2}}.\mathrm{d}$ $=\frac{1}{6}.\frac{{\mathrm{ac}}^3}{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{c}}^2}.\mathrm{d}$

Kết hợp với kết quả trong câu a ta suy ra $d=\frac{bc{ }^2}{a^2+b^2+c^2}$.