Bài 1.17 trang 19 SBT hình học 12

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của B′C′ và C′D′′. Mặt phẳng (AEF) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện (H) và (H′), trong đó (H) là hình đa diện chứa đỉnh A′. Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện (H) và thể tích hình đa diện (H′)

Phương pháp giải - Xem chi tiết

- Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi (AEF)

- Đặt thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′là V

- Tính thể tích khối đa diện (H) bằng phương pháp phân chia khối đa diện.

Chú ý: Công thức tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác S.A′B′C′ và S.ABC với A′∈SA,B′∈SB,C′∈SC là $\frac{V_{\mathrm{S}.{\mathrm{A}}^{\text{'}}{\mathrm{B}}^{\text{'}}{\mathrm{C}}^{\text{'}}}}{V_{\mathrm{S}.\mathrm{ABC}}}=\frac{{\mathrm{SA}}^{\text{'}}}{SA}.\frac{{\mathrm{SB}}^{\text{'}}}{SB}.\frac{{\mathrm{SC}}^{\text{'}}}{SC}$.

Lời giải chi tiết

Trong (A′B′C′D′), gọi I,J lần lượt là giao điểm của EF với A′B′ và A′D′.

Trong (ADD′A′), gọi M=AJ∩D′D.

Trong (ABB′A′), gọi L=AI∩BB′.

Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi (AEF) là ngũ giác AMFEL.

Khi đó (H) là khối đa diện chứ đỉnh A′ và $V_{\left(\mathrm{H}\right)}={\mathrm{V}}_{\mathrm{A}.{\mathrm{A}}^{\text{'}}\mathrm{IJ}}-{\mathrm{V}}_{\mathrm{M}.{\mathrm{D}}^{\text{'}}\mathrm{JF}}-{\mathrm{V}}_{\mathrm{L}.{\mathrm{B}}^{\text{'}}\mathrm{IE}}$.

Gọi V0 là thể tích khối tứ diệnA.A′IJ. V là thể tích khối hộp ABCD.A′B′C′D′.

Vì EB′=EC′ và B′I//C′F nên $I{B}^{\text{'}}={\mathrm{FC}}^{\text{'}}=\frac{{\mathrm{A}}^{\text{'}}{\mathrm{B}}^{\text{'}}}{2}$

Do đó $\frac{I{B}^{\text{'}}}{I{A}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}$

Mà  BE′//A′J, B′L//AA′ $\Rightarrow \frac{IL}{IA}=\frac{\mathrm{IE}}{\mathrm{I} \mathrm{J}}=\frac{{\mathrm{IB}}^{\text{'}}}{{\mathrm{IA}}^{\text{'}}}=\frac{1}{3}$

7$\Rightarrow \frac{{\mathrm{V}}_{\mathrm{I}.{\mathrm{ELB}}^{\text{'}}}}{{\mathrm{V}}_{\mathrm{I}.{\mathrm{JAA}}^{\text{'}}}}=\frac{IL}{IA}.\frac{IE}{I J}.\frac{\mathrm{LE}}{\mathrm{A} \mathrm{J}}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}$

Do đó $V_{\mathrm{I}.{\mathrm{ELB}}^{\text{'}}}=\frac{1}{27}{\mathrm{V}}_0$

Tương tự  $V_{\mathrm{J}.{\mathrm{MFD}}^{\text{'}}}=\frac{1}{27}{\mathrm{V}}_0$

Gọi A′B′=a,B′C′=b, đường cao hạ từ A xuống (A′B′C′D′) là h thì $I{A}^{\text{'}}=\frac{3}{2}{\mathrm{A}}^{\text{'}}\mathrm{B}\text{'}=\frac{3\mathrm{a}}{2};$ $A^{\text{'}}J=\frac{3}{2}{\mathrm{A}}^{\text{'}}{\mathrm{B}}^{\text{'}}=\frac{3\mathrm{b}}{2}$ và

V=$\mathrm{V}={\mathrm{V}}_{\mathrm{ABCD}.{\mathrm{A}}^{\text{'}}{\mathrm{B}}^{\text{'}}{\mathrm{C}}^{\text{'}}{\mathrm{D}}^{\text{'}}}$$={\mathrm{S}}_{{\mathrm{A}}^{\text{'}}{\mathrm{B}}^{\text{'}}{\mathrm{C}}^{\text{'}}{\mathrm{D}}^{\text{'}}}ℎ=\mathrm{ab}ℎ.\sin \widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}{\mathrm{A}}^{\text{'}}{\mathrm{D}}^{\text{'}}}$;

$V_0=\frac{1}{3}{\mathrm{S}}_{\mathrm{AIJ}}.ℎ$ $=\frac{1}{3}.\left(\frac{1}{2}.\frac{3\mathrm{a}}{2}.\frac{3\mathrm{b}}{2}\sin \widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}{\mathrm{A}}^{\text{'}}{\mathrm{D}}^{\text{'}}}\right)ℎ$ $=\frac{3}{8}\mathrm{ab}ℎ.\sin \widehat{{\mathrm{B}}^{\text{'}}{\mathrm{A}}^{\text{'}}{\mathrm{D}}^{\text{'}}}$

$\Rightarrow \frac{{\mathrm{V}}_0}{V}=\frac{3}{8}\Rightarrow {\mathrm{V}}_0=\frac{3\mathrm{V}}{8}$

Vậy  $V_{\left(\mathrm{H}\right)}={\mathrm{V}}_0-\frac{2}{27}{\mathrm{V}}_0$$=\frac{25}{27}{\mathrm{V}}_0=\frac{25}{27}.\frac{3\mathrm{V}}{8}=\frac{25}{72}\mathrm{V}$

$V_{\left({\mathrm{H}}^{\text{'}}\right)}=\mathrm{V}-{\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{H}\right)}=\frac{47}{72}\mathrm{V}$$\Rightarrow \frac{{\mathrm{V}}_{\left(\mathrm{H}\right)}}{{\mathrm{V}}_{\left({\mathrm{H}}^{\text{'}}\right)}}=\frac{25}{47}$.