Bài 1.2 phần bài tập bổ sung trang 158 SBT toán 9 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của DE, DC, BC, BE. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q thuộc cùng một đường tròn.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Để chứng minh một điểm thuộc một đường tròn cố định thì ta chứng minh điểm đó cách một điểm cố định một khoảng không đổi.

Lời giải chi tiết

* Xét tam giác \(DEC\) có  

\(M\) là trung điểm \(DE\)

\(N\) là trung điểm \(DC\)

Suy ra, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(DEC\), hay \(MN//EC\) (*) và \(MN = \dfrac{1}{2}EC\)  (1)

* Xét tam giác \(BEC\) có 

\(Q\) là trung điểm \(BE\)

\(P\) là trung điểm \(BC\)

Suy ra, \(PQ\) là đường trung bình của tam giác \(BEC\), hay \(PQ//EC\) và \(PQ = \dfrac{1}{2}EC\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành.

* Xét tam giác \(DEB\) có 

\(Q\) là trung điểm \(BE\)

\(M\) là trung điểm \(DE\)

Suy ra, \(QM\) là đường trung bình của tam giác \(BED\), hay \(MQ//DB\)  (3).

Mà \(AB \bot AC\) (4)

Từ (1), (3) và (4) suy ra \(MN \bot MQ\) (5)

Tứ giác \(MNPQ\) là hình bình hành mà có một góc vuông suy ra \(MNPQ\) là hình chữ nhật.

Gọi \(I\) là giao điểm của hai đường chéo \(MP\) và \(QN\)

Suy ra \(IM=IN=IP=IQ\) (tính chất hình chữ nhật)

Nên các điểm \(M, N, P, Q\) đều cách đều \(I\) một khoảng cố định, suy ra \(M, N, P, Q\) cùng thuộc một đường tròn.