Bài 12 trang 183 SBT toán 8 tập 2

Đề bài

Tìm các giá trị nguyên của \(x\) nghiệm đúng cả hai bất phương trình sau:

\(\begin{array}{l}
\dfrac{{x + 4}}{5} - x + 4 > \dfrac{x}{3} - \dfrac{{x - 2}}{2}\,\,\,\,\,\,(\,1\,)\\
x - \dfrac{{x - 3}}{8} \ge 3 - \dfrac{{x - 3}}{{12}}\,\,\,\,\,\,\,(2)
\end{array}\)

Lời giải chi tiết

\(\dfrac{{x + 4}}{5} - x + 4 > \dfrac{x}{3} - \dfrac{{x - 2}}{2}\,\,\,\,\,\,(\,1\,)\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{6\left( {x + 4} \right) + 30\left( { - x + 4} \right)}}{{30}} >\)\(\, \dfrac{{10x - 15\left( {x - 2} \right)}}{{30}}\)

\(\Leftrightarrow 6\left( {x + 4} \right) + 30\left( { - x + 4} \right) > \)\(\,10x - 15\left( {x - 2} \right)\)

\(\Leftrightarrow 6x + 24 - 30x + 120 > \)\(\,10x - 15x + 30\)

\(\Leftrightarrow - 24x + 144 > - 5x + 30\)

\(\Leftrightarrow - 24x + 5x > 30 - 144\)

\(\Leftrightarrow - 19x > - 114\)

\(\Leftrightarrow x < \left( { - 114} \right):\left( { - 19} \right)\)

\(\Leftrightarrow x < 6\)

Vậy nghiệm của bất phương trình (1) là \(x < 6\).

\(x - \dfrac{{x - 3}}{8} \ge 3 - \dfrac{{x - 3}}{{12}}\,\,\,\,\,\,\,(2)\)

\(\Leftrightarrow \dfrac{{24x - 3\left( {x - 3} \right)}}{{24}} \ge \)\(\,\dfrac{{3.24 - 2\left( {x - 3} \right)}}{{24}}\)

\(\Leftrightarrow 24x - 3\left( {x - 3} \right) \ge 3.24 - 2\left( {x - 3} \right)\)

\(\Leftrightarrow 24x - 3x + 9 \ge 72 - 2x + 6\)

\(\Leftrightarrow 21x + 9 \ge - 2x + 78\)

\(\Leftrightarrow 21x + 2x \ge 78 - 9\)

\(\Leftrightarrow 23x \ge 69\)

\(\Leftrightarrow x \ge 3\)

Vậy nghiệm của bất phương trình (2) là \(x \ge 3\).

Nghiệm chung của hai bất phương trình là \(3 ≤ x < 6\).

Vì \(x ∈\mathbb Z\) nên \(n ∈ \{3; 4; 5\}\).