Câu hỏi 12 - Mục Bài tập trang 82

1. Nội dung câu hỏi

Cho tam giác ABC có đường cao AH. Lấy E, F lần lượt trên AB, AC sao cho HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC. Lấy điểm D trên EF sao cho AD vuông góc với EF. Đường thẳng AD cắt BC tại M. Chứng minh rằng:

a) \(AE.AB = AF.AC\)

b) $\Delta ADE\backsim \Delta AHC$ và $\Delta ANF\backsim \Delta AMB$ ($\Delta ANF\backsim \Delta AMB$ không chứng minh được vì đề bài không cho vị trí của điểm N).

3. Lời giải chi tiết

a) Vì AH là đường cao của tam giác ABC nên \(\widehat {AHB} = \widehat {AHC} = {90^0}\)

Vì HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC nên \(HE \bot AB,HF \bot AC\)

Do đó, \(\widehat {HEB} = \widehat {HEA} = \widehat {HFA} = \widehat {HFC} = {90^0}\)

Tam giác HEA và tam giác BHA có:

\(\widehat {HEA} = \widehat {AHB} = {90^0},\widehat {BAH}\;chung\)

Do đó, $\Delta HEA\backsim \Delta BHA\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\frac{{AE}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) nên \(AE.AB = A{H^2}\left( 1 \right)\)

Tam giác HFA và tam giác CHA có:

\(\widehat {HFA} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat {CAH}\;chung\)

Do đó, $\Delta HFA\backsim \Delta CHA\left( g-g \right)$

Suy ra: \(\frac{{AF}}{{AH}} = \frac{{AH}}{{AC}}\) nên \(AF.AC = A{H^2}\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có: \(AE.AB = AF.AC\)

b) Vì \(AE.AB = AF.AC\) nên \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}}\)

Tam giác AEF và tam giác ACB có: \(\frac{{AE}}{{AC}} = \frac{{AF}}{{AB}},\widehat {BAC}\;chung\)

Do đó, $\Delta AEF\backsim \Delta ACB\left( c-g-c \right)$, suy ra, \(\widehat {AEF} = \widehat C\)

Tam giác AED và tam giác ACH có:

\(\widehat {ADE} = \widehat {AHC} = {90^0},\widehat {AEF} = \widehat C\left( {cmt} \right)\)

Do đó, $\Delta ADE\backsim \Delta AHC\left( g-g \right)$