Cho hình thoi \(ABCD,\) \(O\) là giao điểm của hai đường chéo. Các tia phân giác của bốn góc vuông có đỉnh \(O\) cắt các cạnh \(AB,\, BC,\, CD,\, DA\) theo thứ tự ở \(E,\, F,\, G,\, H.\) Tứ giác \(EFGH\) là hình gì?

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Vận dụng kiến thức :

- Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.

- Hình chữ nhật có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình vuông.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(\widehat {AOB}\) và \(\widehat {COD}\) đối đỉnh nên \(E,\, O,\, G\) thẳng hàng

\(\widehat {BOC}\) và \(\widehat {AOD}\) đối đỉnh nên \(F,\, O,\, H\) thẳng hàng

Xét \(∆ BEO\) và \(∆ BFO:\)

\(\widehat {EBO} = \widehat {FBO}\) (tính chất hình thoi)

\(OB\) cạnh chung

\(\widehat {EOB} = \widehat {FOB} = {45^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc vuông)

Do đó: \(∆ BEO = ∆ BFO\, (g.c.g)\)

\(⇒ OE = OF\) (1)

Xét \(∆ BEO\) và \(∆ DGO:\)

\(\widehat {EBO} = \widehat {GDO}\) (so le trong)

\(OB = OD\) (tính chất hình thoi)

\(\widehat {EOB} = \widehat {GOD}\) (đối đỉnh)

Do đó: \(∆ BEO = ∆ DGO\, (g.c.g)\)

\(⇒ OE = OG\) (2)

Xét \(∆ AEO\) và \(∆ AHO:\)

\(\widehat {EAO} = \widehat {HAO}\) (tính chất hình thoi)

\(OA\) cạnh chung

\(\widehat {EOA} = \widehat {HOA} = {45^0}\) (tính chất tia phân giác của các góc vuông)

Do đó: \(∆ AEO = ∆ AHO\, (g.c.g)\)

\(⇒ OE = OH\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(OE = OF = OG = OH\) hay \(EG = FH\)

nên tứ giác \(EFGH\) là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và bằng nhau)

Lại có OE và OF là hai tia phân giác của hai góc kề bù \(\widehat {AOB},\widehat {BOC}\) nên \(OE ⊥ OF\) (tính chất tia phân giác của hai góc kề bù)

hay \(EG ⊥ FH\)

Vậy hình chữ nhật \(EFGH\) là hình vuông.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Chương bài liên quan

Bài tập ôn chương I. Tứ giác

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024