Bài 127 trang 96 SBT toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A,\) điểm \(M\) thuộc cạnh \(BC.\) Gọi \(D, E\) theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ \(M\) đến \(AB, AC.\)

\(a)\) So sánh các độ dài \(AM, DE.\)

\(b)\) Tìm vị trí của điểm \(M\) trên cạnh \(BC\) để \(DE\) có độ dài nhỏ nhất.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Sử dụng kiến thức:

+) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

+) Trong hình chữ nhật, hai đường chéo bằng nhau.

+) Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Lời giải chi tiết

\(a)\) Xét tứ giác \(ADME\) ta có:

\(\widehat A = {90^0}\) (gt)

\(MD ⊥ AB\;\; (gt)\)

\( \Rightarrow \widehat {MDA} = {90^0}\)

\(ME ⊥ AC\;\; (gt)\)

\( \Rightarrow \widehat {MEA} = {90^0}\)

Suy ra: Tứ giác \(ADME\) là hình chữ nhật (vì có ba góc vuông)

\(⇒ AM = DE\) (tính chất hình chữ nhật)

\(b)\) Ta có: \(AH ⊥ BC\) nên \(AM ≥ AH\) (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

Dấu \(“=”\) xảy ra khi \(M\) trùng với \(H.\)

Mà \(DE = AM\) (chứng minh trên)

Vậy \(DE\) có độ dài nhỏ nhất bằng \(AH\) khi \(M\) là chân đường vuông góc kẻ từ \(A\) đến \(BC.\)